Hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng

Thứ sáu - 05/02/2016 14:20
Hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng trong không gian. Cách tìm hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng trong không gian.
Hình 1. Hình chiếu của đường lên mặt
Hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng. Để tìm hình chiếu $\Delta$ của đường thẳng $d$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$ ta tiến hành các bước sau

Bước 1. Viết phương trình mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ chứa $d$ và vuông góc với $\left( P \right)$. Cặp vector chỉ phương của $\left( P \right)$ là ${\vec n_P}$ và ${\vec u_d}.$

Bước 2. Viết phương trình đường thẳng $\Delta  = \left( \alpha  \right) \cap \left( P \right).$

 
Ví dụ. Cho $\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 - t\\
y = 2 + 2t\\
z =  - 1 - t
\end{array} \right.$ và  $\left( P \right):x - y + z - 1 = 0.$ 

Viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là hình chiếu vuông góc của $d$ lên $(P)$.

 

 
Giải. Bước 1. Gọi $\left( \alpha  \right)$ là mặt phẳng chứa $d$ và vuông góc với $\left( P \right)$. Cặp vector chỉ phương của $\left( \alpha \right)$ là ${\vec u_d} = \left( { - 1;2; - 1} \right),{\vec n_P} = \left( {1; - 1;1} \right)$. Suy ra ${\vec n_\alpha } = \left[ {{{\vec u}_d},{{\vec n}_P}} \right] = \left( {1;0 - 1} \right).$ Chọn $M\left( {1;2; - 1} \right) \in d \subset \left( \alpha  \right).$

Phương trình của mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ là $\left( {x - 1} \right) + 0\left( {y - 2} \right) - 1\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - z - 2 = 0.$

Bước 2. Hình chiếu vuông góc của $d$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\Delta  = \left( \alpha  \right) \cap \left( P \right).$

Do đó phương trình tổng quát của $\Delta$ là $\left( \Delta  \right):\left\{ \begin{array}{l}
x - y + z - 1 = 0\\
x - z - 2 = 0
\end{array} \right..$

Từ đây ta có cặp vector pháp tuyến của $\Delta$ là ${\vec n_1} = \left( {1, - 1;1} \right),{\vec n_2} = \left( {1,0; - 1} \right) \Rightarrow {\vec u_\Delta } = \left[ {{{\vec n}_1},{{\vec n}_2}} \right] = \left( {1;2;1} \right).$
Từ phương trình tổng quát của $\Delta$ ta thay $x = 0 \Rightarrow y =  - 3,z =  - 2 \Rightarrow A\left( {0; - 3; - 2} \right) \in \Delta .$

Suy ra phương trình tham số của $\Delta$ là $$\left( \Delta  \right):\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y =  - 3 + 2t\\
z =  - 2 + t
\end{array} \right..$$

 
Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
 

 

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 127 trong 38 đánh giá

Xếp hạng: 3.3 - 38 phiếu bầu
Click để đánh giá bài viết

  Góp ý hoặc một bài toán của Quý học viên hoặc Quý Phụ Huynh

  • Thảo

    Chổ tìm điểm A thuộc đenta, sao lại thay x=0 ạ??

      Thảo   26/03/2020 12:39
    • @Thảo Chào Thảo,

      Ở đây mình cần tìm một điểm A bất kì nên mình có thể cho x bằng bao nhiêu cũng được, rồi từ đó tìm y và z tương ứng ta sẽ được một điểm tương ứng.

        Trung Tâm Cùng Học Toán   30/03/2020 23:22
  • Pathy

    thầy ơi, em không hiểu chỗ thay để ra A(0,-3,-2) ạ, thầy nói rõ hơn chỗ đó được không ạ?

      Pathy   20/06/2019 07:53
  • Long

    Thầy ơi , điểm A(0;-3;-2) chứ ạ .

      Long   22/04/2018 12:17
    • @Long Cảm ơn Long, là do thầy viết nhầm.

        Trung Tâm Cùng Học Toán   07/05/2018 23:34
  • Hùng

    Tích có hướng sai rồi. Vecto pháp tuyến của Alpha phải là (1 ; 0 ; -1 ) chứ không phải là ( 3 ; 0 ; -1)

      Hùng   07/04/2017 12:10
Mã bảo mật