Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.
Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Bài toán tính khoảng cách giữa hai đường đẳng chéo nhau.
Đường thẳng $d_1$ có vector chỉ phương là ${\vec u_1}$, đi qua điểm $M_1$;
Đường thẳng $d_2$ có vector chỉ phương là ${\vec u_2}$, đi qua điểm $M_2$.
Khoảng cách giữa $d_1$ và $d_2$, ký hiệu $d\left( {{d_1},{d_2}} \right)$, được tính theo công thức $$d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \cdot \left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}}{{\left| {\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}}.$$
Cách khác: Bước 1. Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $d_1$ và song song với $d_2$. Cặp vector chỉ phương của $\left( P \right)$ là ${{\vec u}_1},{{\vec u}_2}$. Suy ra ${\vec n_P} = \left[ {{{\vec u}_{{d_1}}},{{\vec u}_{{d_2}}}} \right].$
Bước 2. $d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = d\left( {{d_2},\left( P \right)} \right) = d\left( {{M_2},\left( P \right)} \right).$
Ví dụ. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right):\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 5 - 2t\\
z = 14 - 3t
\end{array} \right.$ và $\left( {{d_2}} \right):\left\{ \begin{array}{l}
x = 9 - 4\lambda \\
y = 3 + \lambda \\
z = - 1 + 5\lambda
\end{array} \right..$
Giải. Ta có ${\vec u_1} = \left( {1; - 2; - 3} \right),\;\;{\vec u_1} = \left( { - 4;1;5} \right) \Rightarrow \left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] = \left( { - 7;7; - 7} \right) \Rightarrow \left| {\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right| = \sqrt {{{\left( { - 7} \right)}^2} + {7^2} + {{\left( { - 7} \right)}^2}} = 7\sqrt 3 .$
Ta cũng có ${M_1}\left( {0;5;14} \right) \in {d_1},{M_2}\left( {9;3; - 1} \right) \in {d_2} \Rightarrow \overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( {9; - 2; - 15} \right).$
Suy ra $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \cdot \left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] = - 7 \cdot 9 + 7 \cdot \left( { - 2} \right) - 7 \cdot \left( { - 15} \right) = 28.$
Như vậy $d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \cdot \left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}}{{\left| {\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}} = \frac{{28}}{{7\sqrt 3 }} = \frac{4}{{\sqrt 3 }}.$
Ta cũng có ${M_1}\left( {0;5;14} \right) \in {d_1},{M_2}\left( {9;3; - 1} \right) \in {d_2} \Rightarrow \overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( {9; - 2; - 15} \right).$
Suy ra $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \cdot \left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right] = - 7 \cdot 9 + 7 \cdot \left( { - 2} \right) - 7 \cdot \left( { - 15} \right) = 28.$
Như vậy $d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \cdot \left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}}{{\left| {\left[ {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right]} \right|}} = \frac{{28}}{{7\sqrt 3 }} = \frac{4}{{\sqrt 3 }}.$
Cách khác. Ta có ${\vec n_P} = \left[ {{{\vec u}_{{d_1}}},{{\vec u}_{{d_2}}}} \right] = \left( { - 7;7; - 7} \right) = - 7\left( {1; - 1;1} \right)$ và $M\left( {0;5;14} \right) \in {d_1} \subset \left( P \right).$ Suy ra $$\left( P \right):1 \cdot \left( {x - 0} \right) - 1 \cdot \left( {y - 5} \right) + 1 \cdot \left( {z - 14} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y + z - 9 = 0.$$ Như vây $$d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = d\left( {{M_2},\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {9 - 3 - 1 - 9} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt 3 }}.$$
Tác giả bài viết: Cùng Học Toán
Góp ý hoặc một bài toán của Quý học viên hoặc Quý Phụ Huynh