Định nghĩa tích có hướng. Công thức tích có hướng của hai vector trong không gian. Tính chất của tích có hướng. Ứng dụng tích có hướng để tính diện tích hình bình hành. Ứng dụng tích có hướng tính thể tích của khối chóp và khối hộp. Quan hệ của tích có hướng và sự đồng phẳng của các vector.
Hình 1. Tích có hướng
Định nghĩa tích có hướng của hai vector. Tích có hướng của hai vector $\vec u$ và $\vec v$ trong không gian, ký hiệu là $\left[ {\vec u,\vec v} \right]$ hoặc $\vec u \wedge \vec v,$ là vector $\vec w$ thoả $3$ điều kiện
$\vec w$ có phương vuông góc với cả $\vec u$ và $\vec v$.
$\left| {\vec w} \right| = \left| {\vec u} \right| \cdot \left| {\vec v} \right| \cdot \sin \alpha ,$ với $\alpha$ là góc hợp bởi $\vec u$ và $\vec v$.
bộ ba vector $\left( {\vec u,\vec v,\vec w} \right)$ tạo thành một bộ ba thuận. - xem Hình 1.
Tính chất 1. $$\vec u\parallel \vec v \Leftrightarrow \left[ {\vec u,\vec v} \right] = \vec 0.$$ Công thức toạ độ của tích có hướng. Toạ động của vector tích có hướng của hai vector $\vec u = \left( {{u_1};{u_2};{u_3}} \right)$ và $\vec v = \left( {{v_1};{v_2};{v_3}} \right)$ là
$$\left[ {\vec u,\vec v} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_2}}&{{u_3}}\\
{{v_2}}&{{v_3}}
\end{array}} \right|; - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}}&{{u_3}}\\
{{v_1}}&{{v_3}}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}}&{{u_2}}\\
{{v_1}}&{{v_2}}
\end{array}} \right|} \right),$$
trong đó định thức $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a&b\\
c&d
\end{array}} \right| = ad - bc.$
Ví dụ 1. Tích có hướng của hai vector $\vec a = \left( {2; - 1;3} \right)$ và $\vec b = \left( {1;2;4} \right)$ là
$$\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&3\\
2&4
\end{array}} \right|; - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&3\\
1&4
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{ - 1}\\
1&2
\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 10; - 5;5} \right).$$
Ví dụ 2. Dùng tích có hướng để kiểm tra tính thẳng hàng của ba điểm $A\left( {1;3;1} \right),B\left( {0;1;2} \right),C\left( {0;0;1} \right).$
Giải. Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 2;1} \right)$, $\overrightarrow {AC} = \left( { - 1; - 3;0} \right).$ Suy ra $$\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {3; - 1;1} \right) \ne \overrightarrow 0 .$$ Theo tính chất 1 thì hai vector $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} $ không cùng phương. Nghĩa là $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng.
Tích hỗn tạp của 3 vector. Tích hỗn tạp của 3 vector $\vec u$, $\vec v$ và $\vec w$ là tích vô hướng của một vector bất kì với vector tích có hướng của hai vector còn lại: $\left[ {\vec u,\vec v} \right] \cdot \vec w$, $\left[ {\vec v,\vec u} \right] \cdot \vec w$, $\left[ {\vec w,\vec v} \right] \cdot \vec u$,... Có tất cả $A_3^2$ bộ như vậy.
Tính chất 2. Ba vector $\vec u$, $\vec v$ và $\vec w$ đồng phẳng khi tích hỗn tạp của chúng bằng $0$.
Ví dụ 3. Dùng tích hỗn tạp đễ kiểm tra tính đồng phẳng của 3 vector sau $\vec a = \left( {2; - 1;3} \right)$, $\vec b = \left( {1;2;4} \right)$ và $\vec c = \left( {1;-2;0} \right)$.
Giaỉ. Ta có $\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&3\\
2&4
\end{array}} \right|; - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&3\\
1&4
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&{ - 1}\\
1&2
\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 10; - 5;5} \right).$
Suy ra $\left[ {\vec a,\vec b} \right] \cdot \vec c = - 10 \cdot 1 + \left( { - 5} \right)\left( { - 2} \right) + 5 \cdot 0 = 0.$
Theo tính chất 2 thì ba vector $\vec a,\vec b,\vec c$ đồng phẳng.
Hình 2. Hình bình hành. Ứng dụng tính diện tích hình bình hành của tích có hướng.
Diện tích hình bình hành $ABCD$ được tính theo công thức $${S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right]} \right|$$
Hình 3. Khối hộp Ứng dụng tính thể tích khối hộp và khối chóp của tích có hướng.
Thể tích khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$ được tính bởi công thức $${V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right] \cdot \overrightarrow {AA'} } \right|$$
Từ đây suy ra thể tích khối chóp $A'.ABD$ là $${V_{A'.ABD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right] \cdot \overrightarrow {AA'} } \right|$$
a. Tính thể tích của hình hộp dựng trên các cạnh $AB$, $AC$, $AD$.
b. Tính thể tích tứ diện $ABCD$.
c. Tính diện tích của tam giác $ABC$.
d. Chứng minh bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ tạo thành bốn đỉnh của một tứ diện.
Giải. a. Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 3;3} \right),\;\;\overrightarrow {AC} = \left( { 4;0; - 4} \right),\;\;\overrightarrow {AD} = \left( {3;3; - 7} \right).$ Suy ra
$$\begin{array}{c}
\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 3}&3\\
0&4
\end{array}} \right|; - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&3\\
4&{ - 4}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 3}\\
{ - 4}&0
\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 12; 16; - 12} \right).\\
\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] \cdot \overrightarrow {AD} = - 12 \cdot 3 + 3 \cdot 16 + \left( { - 7} \right) \cdot \left( { - 12} \right) = 96 \ne 0.
\end{array}$$ Vì $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] \cdot \overrightarrow {AD} \ne 0$ nên theo tính chất 2 ta suy ra các vector $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} $ không đồng phẳng. Nghĩa là bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ không đồng phẳng, và do đó tạo thành bốn đỉnh của một tứ diện.
b. Diện tích của tam giác $ABC$ là $${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( { - 12} \right)}^2} + {{16}^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} = \sqrt {34} .$$
c. Thể tích của tứ diện $ABCD$ là $${V_{ABCD}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] \cdot \overrightarrow {AD} } \right| = \frac{{96}}{6} = 16.$$
d. Thể tích của hình hộp dựng trên các cạnh $AB$, $AC$, $AD$ là $$V = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] \cdot \overrightarrow {AD} } \right| = 96.$$
Bài tập
(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
Góp ý hoặc một bài toán của Quý học viên hoặc Quý Phụ Huynh