Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.
Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.
Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Hai mặt phẳng cắt nhau. Hai mặt phẳng song song. Hai mặt phẳng vuông góc.
Vị trí tương đối của hai mặt phẳng. Cho hai mặt phẳng:
Bài tập
$\left( {{P_1}} \right):{A_1}x + {B_1}y + {C_1}z + {D_1} = 0$ có vector pháp tuyến là ${\vec n_1} = \left( {{A_1};{B_1};{C_1}} \right)$;
$\left( {{P_2}} \right):{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0.$ có vector pháp tuyến là ${\vec n_2} = \left( {{A_2};{B_2};{C_2}} \right).$
$\left( {{P_2}} \right):{A_2}x + {B_2}y + {C_2}z + {D_2} = 0.$ có vector pháp tuyến là ${\vec n_2} = \left( {{A_2};{B_2};{C_2}} \right).$
Khi đó có $3$ trường hợp xảy ra
$\left( {{P_1}} \right) \equiv \left( {{P_2}} \right) \Leftrightarrow \frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = \frac{{{B_1}}}{{{B_2}}} = \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}} = \frac{{{D_1}}}{{{D_2}}};$
$\left( {{P_1}} \right)//\left( {{P_2}} \right) \Leftrightarrow \frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = \frac{{{B_1}}}{{{B_2}}} = \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}} \ne \frac{{{D_1}}}{{{D_2}}},$
$\left( {{P_1}} \right)$ cắt $\left( {{P_2}} \right) \Leftrightarrow {A_1}:{B_1}:{C_1} \ne {A_2}:{B_2}:{C_2},$
$\left( {{P_1}} \right)//\left( {{P_2}} \right) \Leftrightarrow \frac{{{A_1}}}{{{A_2}}} = \frac{{{B_1}}}{{{B_2}}} = \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}} \ne \frac{{{D_1}}}{{{D_2}}},$
$\left( {{P_1}} \right)$ cắt $\left( {{P_2}} \right) \Leftrightarrow {A_1}:{B_1}:{C_1} \ne {A_2}:{B_2}:{C_2},$
Ví dụ 1. Xét vị trí tương đối của hai mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right):2x + 3y - z + 5 = 0$ và $\left( {{P_2}} \right):4x + 6y + 2z + 10 = 0.$
Giải. Các vector pháp tuyến của $\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)$ lần lượt là ${{\vec n}_1} = \left( {2;3; - 1} \right),{{\vec n}_2} = \left( {4;6;2} \right)$. Tỷ lệ toạ độ của hai vector này như sau $$\frac{2}{4} = \frac{3}{6} \ne \frac{{ - 1}}{2} \Rightarrow {\vec n_1}$$ Suy ra $\left( {{P_1}} \right)$ cắt $\left( {{P_2}} \right)$.
Hai mặt phẳng vuông góc. Cho hai mặt phẳng $\left( {{P_1}} \right),\left( {{P_2}} \right)$ lần lượt có vector pháp tuyến là ${\vec n_1} = \left( {{A_1};{B_1};{C_1}} \right)$ và ${\vec n_2} = \left( {{A_2};{B_2};{C_2}} \right).$ Khi đó
$$\left( {{P_1}} \right) \bot \left( {{P_2}} \right) \Leftrightarrow {{\vec n}_1} \bot {{\vec n}_2} \Leftrightarrow {{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2} = 0.$$
Ví dụ 2. Tìm $m$ để hai mặt phẳng $\left( P \right):2x - my + 3z - 6 + m = 0$ và $\left( Q \right):\left( {m + 3} \right)x - y + \left( {m + 1} \right)z - 10 = 0.$ vuông góc nhau.
$$\left( {{P_1}} \right) \bot \left( {{P_2}} \right) \Leftrightarrow {{\vec n}_1} \bot {{\vec n}_2} \Leftrightarrow {{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2} = 0.$$
Ví dụ 2. Tìm $m$ để hai mặt phẳng $\left( P \right):2x - my + 3z - 6 + m = 0$ và $\left( Q \right):\left( {m + 3} \right)x - y + \left( {m + 1} \right)z - 10 = 0.$ vuông góc nhau.
Giải. Vector pháp tuyến của hai mặt phẳng lần lượt là ${{\vec n}_1} = \left( {2; - m;3} \right),{{\vec n}_2} = \left( {m + 3; - 1;m + 1} \right).$.
$$\displaylines{
\left( {{P_1}} \right) \bot \left( {{P_2}} \right) \Leftrightarrow {{\vec n}_1} \bot {{\vec n}_2} \Leftrightarrow {{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2} = 0 \Leftrightarrow 2\left( {m + 3} \right) + \left( { - m} \right)\left( { - 1} \right) + 3\left( {m + 1} \right) = 0 \cr
\Leftrightarrow 6m + 9 = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{3}{2}. \cr} $$
$$\displaylines{
\left( {{P_1}} \right) \bot \left( {{P_2}} \right) \Leftrightarrow {{\vec n}_1} \bot {{\vec n}_2} \Leftrightarrow {{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2} = 0 \Leftrightarrow 2\left( {m + 3} \right) + \left( { - m} \right)\left( { - 1} \right) + 3\left( {m + 1} \right) = 0 \cr
\Leftrightarrow 6m + 9 = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{3}{2}. \cr} $$
Bài tập
Tác giả bài viết: Cùng Học Toán
Góp ý hoặc một bài toán của Quý học viên hoặc Quý Phụ Huynh