Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.
Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.
Dấu của tam thức bậc hai
Dấu của tam thức bậc hai
Dấu của tam thức bậc hai. Xét tam thức bậc hai $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c, a \ne 0.$ Đặt $\Delta = {b^2} - 4ac$. Ta có các trường hợp như sau
$(i)$ $f\left( x \right) $ vô nghiệm $ \Leftrightarrow f\left( x \right)$ cùng dấu với hệ số $a$, với mọi $x \in \mathbb R$. Nghĩa là, $$\Delta < 0 \Leftrightarrow af\left( x \right) > 0, \hbox{ với mọi } x \in \mathbb R.$$
$(ii)$ $f\left( x \right) $ có nghiệm kép $x_0$ $ \Leftrightarrow f\left( x \right)$ cùng dấu với hệ số $a$, với mọi $x \ne x_0$. Nghĩa là, $$\Delta = 0 \Leftrightarrow af\left( x \right) > 0, \hbox{ với mọi } x \ne x_0.$$
$(iii)$ $f\left( x \right) $ có hai nghiệm $x_1 < x_2 $ $ \Leftrightarrow f\left( x \right)$ trái dấu với hệ số $a$ với mọi $x \in \left( {{x_1};{x_2}} \right)$, cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $ x \in \left( { - \infty ;{x_1}} \right) \cup \left( {{x_2}; + \infty } \right)$. Nghĩa là,
Ví dụ 1. Xét tam thức bậc hai $f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 3$ vô nghiệm và có hệ số $ a > 0$ nên $f\left( x \right) > 0$, với mọi $x \in \mathbb R$.
Một cách suy luận khác là $f\left( x \right) = \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 2 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 2 > 0,$ với mọi $ x \in \mathbb R$.
Ví dụ 2. Xét tam thức bậc hai $f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 1$ có nghiệm kép $ x_0 = 1$ và có hệ số $ a > 0$ nên $f\left( x \right) > 0$, với mọi $x \ne 1$.
Một cách suy luận khác là $f\left( x \right) = \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = {\left( {x - 1} \right)^2} > 0,$ với mọi $ x \ne 1$.
Ví dụ 3. Xét tam thức bậc hai $f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 3$ có hai nghiệm $x_1 = -1$ và $x_2 = 3$ và có hệ số $a = 1> 0$ nên ta có bảng xét dấu của $f\left( x \right) $ như sau
Vậy $f\left( x \right) < 0$ với mọi $x \in \left( { - 1;3} \right)$ và $f\left( x \right) > 0$ với mọi $x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right).$
Ví dụ 4. Tìm $m$ để $f\left( x \right) = {x^2} + 2x + m > 0$ với mọi $x \in \mathbb R$.
$(i)$ $f\left( x \right) $ vô nghiệm $ \Leftrightarrow f\left( x \right)$ cùng dấu với hệ số $a$, với mọi $x \in \mathbb R$. Nghĩa là, $$\Delta < 0 \Leftrightarrow af\left( x \right) > 0, \hbox{ với mọi } x \in \mathbb R.$$
| $x$ | $- \infty$ $+ \infty$ |
| $f\left( x \right) $ | cùng dấu với $a$ |
$(ii)$ $f\left( x \right) $ có nghiệm kép $x_0$ $ \Leftrightarrow f\left( x \right)$ cùng dấu với hệ số $a$, với mọi $x \ne x_0$. Nghĩa là, $$\Delta = 0 \Leftrightarrow af\left( x \right) > 0, \hbox{ với mọi } x \ne x_0.$$
| $x$ | $- \infty$ $x_0$ $+ \infty$ |
| $f\left( x \right) $ | cùng dấu với $a$ $0$ cùng dấu với $a$ |
$(iii)$ $f\left( x \right) $ có hai nghiệm $x_1 < x_2 $ $ \Leftrightarrow f\left( x \right)$ trái dấu với hệ số $a$ với mọi $x \in \left( {{x_1};{x_2}} \right)$, cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $ x \in \left( { - \infty ;{x_1}} \right) \cup \left( {{x_2}; + \infty } \right)$. Nghĩa là,
| $x$ | $- \infty$ $x_1$ $x_2$ $+ \infty$ |
| $f\left( x \right) $ | cùng dấu với $a$ $0$ trái dấu với $a$ $0$ cùng dấu với $a$ |
Một cách suy luận khác là $f\left( x \right) = \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 2 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 2 > 0,$ với mọi $ x \in \mathbb R$.
Ví dụ 2. Xét tam thức bậc hai $f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 1$ có nghiệm kép $ x_0 = 1$ và có hệ số $ a > 0$ nên $f\left( x \right) > 0$, với mọi $x \ne 1$.
Một cách suy luận khác là $f\left( x \right) = \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = {\left( {x - 1} \right)^2} > 0,$ với mọi $ x \ne 1$.
Ví dụ 3. Xét tam thức bậc hai $f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 3$ có hai nghiệm $x_1 = -1$ và $x_2 = 3$ và có hệ số $a = 1> 0$ nên ta có bảng xét dấu của $f\left( x \right) $ như sau
| $x$ | $- \infty$ $-1$ $3$ $+ \infty$ |
| $f\left( x \right) $ | $+$ $0$ $-$ $0$ $+$ |
Vậy $f\left( x \right) < 0$ với mọi $x \in \left( { - 1;3} \right)$ và $f\left( x \right) > 0$ với mọi $x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right).$
Ví dụ 4. Tìm $m$ để $f\left( x \right) = {x^2} + 2x + m > 0$ với mọi $x \in \mathbb R$.
Giải. Yêu cầu bài toán tương đương $$\left\{ \begin{array}{l} a > 0\\ \Delta < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 > 0\\ {2^2} - 4 \cdot 1 \cdot m < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 > 0\\ 4 - 4m < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow m > 1.$$
Tác giả bài viết: Cùng Học Toán
Góp ý hoặc một bài toán của Quý học viên hoặc Quý Phụ Huynh