Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.

Trong suốt mục này ta chỉ bàn đến phương trình bậc hai có hệ số là các số thực; và khi nói đến nghiệm của phương trình, ta cũng chỉ đề cập đến các nghiệm thực. Đối với phương trình bậc hai hệ số phức, học sinh xem ở đây.

Nếu $ \Delta > 0 $ thì $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ được cho bởi công thức $${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt \Delta  }}{{2a}}.$$
Nếu $ \Delta = 0 $ thì $(1)$ có nghiệm kép $${x_0} =  - \frac{b}{{2a}}.$$
Nếu $ \Delta < 0 $ thì $(1)$ vô nghiệm.

Nếu $ \Delta' > 0 $ thì $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ được cho bởi công thức $${x_{1,2}} = \frac{{ - b' \pm \sqrt {\Delta '} }}{a}$$
Nếu $ \Delta' = 0 $ thì $(1)$ có nghiệm kép $${x_0} =  - \frac{b'}{{a}}.$$
Nếu $ \Delta < 0 $ thì $(1)$ vô nghiệm.

Giải. Ta có $\Delta  = {b^2} - 4ac = {\left( { - 4} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 > 0.$ Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $$\eqalign{
  & {x_1} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{{2a}} = \frac{{ - \left( { - 4} \right) + \sqrt 4 }}{{2 \cdot 1}} = 3;  \cr
  & {x_2} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta  }}{{2a}} = \frac{{ - \left( { - 4} \right) - \sqrt 4 }}{{2 \cdot 1}} = 1. \cr} $$

Cách khác, $${x^2} - 4x + 5 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
  x - 2 = 1 \hfill \\
  x - 2 =  - 1 \hfill \\
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
  x = 3 \hfill \\
  x = 1 \hfill \\
\end{gathered}  \right..$$
Ví dụ 2. Giải phương trình ${x^2} - 4x + 4 = 0.$

Giải. Ta có $\Delta  = {b^2} - 4ac = {\left( { - 4} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 0.$ Phương trình đã cho có nghiệm kép $${x_0} =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{4}{{2 \cdot 1}} = 2.$$

Cách khác, $${x^2} - 4x + 4 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2.$$

Ví dụ 3. Giải phương trình ${x^2} - 4x + 5 = 0.$

Giải. Vì $\Delta  = {b^2} - 4ac = {\left( { - 4} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 =  - 4 < 0$ nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Cách khác, $${x^2} - 4x + 5 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + 1 = 0.$$ Vì ${\left( {x - 2} \right)^2} + 1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Ví dụ 4. Tìm $m$ để phương trình ${x^2} - 3x + 3m = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

Giải. Ta có $\Delta  = {b^2} - 4ac = {\left( { - 3} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot 3m = 9 - 12m.$ Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt nếu và chỉ nếu $$\Delta  > 0 \Leftrightarrow 9 - 12m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{3}{4}.$$

Ví dụ 5. Giải và biện luận nghiệm của phương trình ${x^2} - 2x + m = 0$.

Giải. Ta có $\Delta  = {b^2} - 4ac = {\left( { - 2} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot m = 4 - 4m.$
TH1: $\Delta  > 0 \Leftrightarrow 4 - 4m > 0 \Leftrightarrow m < 1 $ thì hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt $${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt \Delta  }}{{2a}} = \frac{{ - \left( { - 2} \right) \pm \sqrt {4 - 4m} }}{{2 \cdot 1}} = 2 \pm \sqrt {1 - m} .$$
TH2: $\Delta  = 0 \Leftrightarrow 4 - 4m = 0 \Leftrightarrow m = 1$ thì hệ phương trình có nghiệm kép $${x_0} =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{{ - 2}}{{2 \cdot 1}} = 1.$$
TH3. $\Delta  < 0 \Leftrightarrow 4 - 4m < 0 \Leftrightarrow m > 1$ thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm.