Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.
Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.
Hàm số mũ
Hàm số mũ. Đồ thị của hàm số mũ. Khảo sát sự biến thiên của hàm số mũ.
Định nghĩa. Hàm số mũ có dạng $f\left( x \right) = {a^x}$, trong đó $0 < a \ne 1$. Hàm số mũ xác định với mọi $x \in \mathbb{R}.$
Ví dụ 1. $f\left( x \right) = {2^x},g\left( x \right) = {3^x},h\left( x \right) = {5^x}.$
Khảo sát sự biến thiên của hàm số mũ. Ta xét hai trường hợp.
Ví dụ 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $f\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}$
Ví dụ 1. $f\left( x \right) = {2^x},g\left( x \right) = {3^x},h\left( x \right) = {5^x}.$
Khảo sát sự biến thiên của hàm số mũ. Ta xét hai trường hợp.
Trường hợp 1. $a>1$
$ \bullet $ Tập xác định $D = \mathbb{R}.$
$ \bullet $ Sự biến thiên: Với mọi ${x_1} < {x_2}$ và cơ số $a>1$ nên ${a^{{x_1}}} < {a^{{x_2}}}$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}.$
$ \bullet $ Giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {a^x} = + \infty $.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {a^x} = 0 \Rightarrow Ox$ là tiệm cận ngang.
$ \bullet $ Hàm số không có cực trị
$ \bullet $ Sự biến thiên: Với mọi ${x_1} < {x_2}$ và cơ số $a>1$ nên ${a^{{x_1}}} < {a^{{x_2}}}$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}.$
$ \bullet $ Giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {a^x} = + \infty $.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {a^x} = 0 \Rightarrow Ox$ là tiệm cận ngang.
$ \bullet $ Hàm số không có cực trị
| $ \bullet $ Bảng biến thiên | $ \bullet $ Đồ thị |
|
|
Trường hợp 2. $0<a<1$
$ \bullet $ Tập xác định $D = \mathbb{R}.$
$ \bullet $ Sự biến thiên: Với mọi ${x_1} < {x_2}$ và cơ số $0 < a < 1$ nên ${a^{{x_1}}} > {a^{{x_2}}}$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}.$
$ \bullet $ Giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {a^x} = + \infty $.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {a^x} = 0 \Rightarrow Ox$ là tiệm cận ngang.
$ \bullet $ Hàm số không có cực trị.
$ \bullet $ Sự biến thiên: Với mọi ${x_1} < {x_2}$ và cơ số $0 < a < 1$ nên ${a^{{x_1}}} > {a^{{x_2}}}$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}.$
$ \bullet $ Giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {a^x} = + \infty $.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {a^x} = 0 \Rightarrow Ox$ là tiệm cận ngang.
$ \bullet $ Hàm số không có cực trị.
| $ \bullet $ Bảng biến thiên | $ \bullet $ Đồ thị |
|
|
Ví dụ 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $f\left( x \right) = {2^x}.$
$ \bullet $ Tập xác định $D = \mathbb{R}.$
$ \bullet $ Sự biến thiên: Cơ số $a=2>1$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}.$
$ \bullet $ Hàm số không có cực trị
$ \bullet $ Sự biến thiên: Cơ số $a=2>1$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}.$
$ \bullet $ Hàm số không có cực trị
| $ \bullet $ Bảng biến thiên | $ \bullet $ Đồ thị |
|
|
Ví dụ 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $f\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}$
$ \bullet $ Tập xác định $D = \mathbb{R}.$
$ \bullet $ Sự biến thiên: Cơ số $a = \frac{1}{3} < 1$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}.$
$ \bullet $ Hàm số không có cực trị
$ \bullet $ Sự biến thiên: Cơ số $a = \frac{1}{3} < 1$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}.$
$ \bullet $ Hàm số không có cực trị
| $ \bullet $ Bảng biến thiên | $ \bullet $ Đồ thị |
|
|
Bài tập
Tác giả bài viết: Cùng Học Toán
Góp ý hoặc một bài toán của Quý học viên hoặc Quý Phụ Huynh