Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.
Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.
Phương trình logarit - Dùng đặc trưng của hàm số
Phương trình logarit. Các phương pháp giải phương trình logarit. Giải phương trình logarit bằng phương pháp dùng đặc trưng hàm số, khảo sát hàm số.
Trong phần này ta sẽ dùng phương pháp khảo sát hàm số đễ giải những phương trình logarit không mẫu mực.
Ví dụ 1. Giải phương trình${\log _{\frac{1}{2}}}x = 5x - \frac{3}{2}{\rm{ }}\left( * \right)$
| Mệnh đề. Nếu hàm số $ f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$ và có đạo hàm đến cấp $k$ trên khoảng $\left( {a;b} \right),$ đồng thời đạo hàm cấp $k$ của $ f\left( x \right)$ vô nghiệm trên $\left( {a;b} \right)$ thì phương trình $f\left( x \right) = 0$ có nhiều nhất là $k$ nghiệm thuộc $\left( {a;b} \right)$. |
Ví dụ 1. Giải phương trình${\log _{\frac{1}{2}}}x = 5x - \frac{3}{2}{\rm{ }}\left( * \right)$
Giải. Điều kiện $x>0$.
Ta thấy $x = \frac{1}{2}$ là một nghiệm của $\left( * \right)$. Ta sẽ chứng minh nghiệm này là duy nhất.
Đặt $f\left( x \right) = {\log _{\frac{1}{2}}}x - 5x + \frac{1}{2}.$ Ta có $$f'\left( x \right) = \frac{1}{{x\ln \frac{1}{2}}} - 5 = - \frac{1}{{x\ln 2}} - 5 < 0,\forall x > 0.$$ Suy ra $f'\left( x \right)$ vô nghiệm, và theo Mệnh đề trên thì $f\left( x \right)$ có không qúa $1$ nghiệm.
Vậy $x = \frac{1}{2}$ là nghiệm duy nhất của phương trình.
Ta thấy $x = \frac{1}{2}$ là một nghiệm của $\left( * \right)$. Ta sẽ chứng minh nghiệm này là duy nhất.
Đặt $f\left( x \right) = {\log _{\frac{1}{2}}}x - 5x + \frac{1}{2}.$ Ta có $$f'\left( x \right) = \frac{1}{{x\ln \frac{1}{2}}} - 5 = - \frac{1}{{x\ln 2}} - 5 < 0,\forall x > 0.$$ Suy ra $f'\left( x \right)$ vô nghiệm, và theo Mệnh đề trên thì $f\left( x \right)$ có không qúa $1$ nghiệm.
Vậy $x = \frac{1}{2}$ là nghiệm duy nhất của phương trình.
Tác giả bài viết: Ths. Huỳnh Việt Khánh
Góp ý hoặc một bài toán của Quý học viên hoặc Quý Phụ Huynh