Bất đẳng thức Bernoulli. Với mọi $0<a \ne 1$ ta có $$\left\{ \begin{array}{l}
{a^x} \ge \left( {a - 1} \right)x + 1,x \le 0 \vee x \ge 1\\
{a^x} < \left( {a - 1} \right)x + 1,0 \le x \le 1
\end{array} \right.$$ Đẳng thức xảy ra khi $x=0$ hoặc $x=1$. |
Ứng dụng BĐT Bernoulli giải phương trình mũ.
Ví dụ 1. Giải phương trình ${5^x} - 4x - 1 = 0{\rm{ }}\left( * \right)$.
Giải. Ta thấy $x = 0,x = 1$ là nghiệm của phương trình. Hơn nữa, theo BĐT Bernoulli ta có $$\left\{ \begin{array}{l}
{5^x} - 4x - 1 > 0,\;\;\;\;x < 0 \vee x > 1.\\
{5^x} - 4x - 1 < 0,\;\;\;\;0 < x < 1.
\end{array} \right.$$
Vậy nghiệm nghiệm của phương trình là $x = 0,x = 1$.
Ví dụ 2. Giải phương trình ${3^x} + {4^x} = 5x + 2$.
Giải. Ta có $PT \Leftrightarrow \left( {{4^x} - 3x - 1} \right) + \left( {{3^x} - 2x - 1} \right) = 0{\rm{ }}\left( * \right)$
Theo BĐT Bernoulli thì hai biểu thức trong ngoặc ở $VT \left( * \right)$ luôn cùng dấu. Do đó $$\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{4^x} - 3x - 1 = 0\\
{3^x} - 2x - 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 1
\end{array} \right.$$
Vậy nghiệm của phương trình là $x = 0,x = 1$.
Bài tập
(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
Góp ý hoặc một bài toán của Quý học viên hoặc Quý Phụ Huynh