Hệ số góc và góc nghiêng của đường thẳng – lớp 10

Cập nhật nội dung: 22/10/2026

Hệ số góc mô tả độ dốc có dấu của một đường không thẳng đứng. Độ dốc âm phải được giữ lại; góc nghiêng tương ứng có thể lớn hơn 90 độ.

Trong bài: Kiến thức · Phương pháp · Ví dụ · Tự luyện · Học tiếp

1. Góc nghiêng và hệ số góc

Chọn góc nghiêng $\alpha$ của đường theo quy ước từ chiều dương $Ox$, với $0^\circ\le\alpha<180^\circ$. Nếu $\alpha\ne90^\circ$, hệ số góc là $k=\tan\alpha$. Khi $k>0$ thì $0^\circ<\alpha<90^\circ$; khi $k<0$ thì $90^\circ<\alpha<180^\circ$; khi $k=0$ thì $\alpha=0^\circ$.

Đường thẳng đứng có $\alpha=90^\circ$, không có hệ số góc hữu hạn vì $\tan90^\circ$ không xác định. Không gán $k=0$ cho đường thẳng đứng; $k=0$ thuộc về đường ngang.

2. Công thức và cách đọc

• Từ $Ax+By+C=0$, nếu $B\ne0$ thì $k=-A/B$; nếu $B=0$ thì đường thẳng đứng.
• Từ chỉ phương $(u;v)$, nếu $u\ne0$ thì $k=v/u$; nếu $u=0$ thì đường thẳng đứng.
• Qua hai điểm phân biệt, nếu $x_B\ne x_A$ thì $k=(y_B-y_A)/(x_B-x_A)$. Nếu hoành độ bằng nhau, đường thẳng đứng.

Hai đường không thẳng đứng có cùng $k$ thì song song hoặc trùng; trong dạng $y=kx+b$, các tung độ gốc khác nhau cho song song phân biệt. Khi tìm góc từ $k<0$, giá trị chính của $\arctan k$ âm; cần cộng $180^\circ$ để góc nghiêng nằm trong khoảng đã quy ước.

3. Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1. Hệ số góc bằng 1

Với $d:y=x+1$, ta có $k=1$, nên góc nghiêng là $45^\circ$. Hằng số 1 ở cuối là tung độ gốc, không phải một hệ số góc thứ hai.

Ví dụ 2. Đưa về dạng y=kx+b

Cho $2y-x+1=0$. Viết $y=\frac12x-\frac12$, suy ra $k=1/2$ và $\alpha=\arctan(1/2)\approx26{,}565^\circ$. Giá trị này thuộc khoảng $0^\circ$ đến $90^\circ$.

Ví dụ 3. Qua một điểm và biết hệ số góc

Qua $M(1;-1)$ và có $k=2$, đường cần tìm là $y+1=2(x-1)$, tức là $y=2x-3$. Thay $x=1$ cho $y=-1$, đúng điểm đã cho.

Ví dụ 4. Hệ số góc âm

Với $y=-x+2$, ta có $k=-1$. Góc nghiêng là $135^\circ$, vì $\tan135^\circ=-1$. Giá trị $-45^\circ$ cùng tang nhưng không thuộc khoảng quy ước; góc nhọn giữa đường này và trục $Ox$ là $45^\circ$, khác với góc nghiêng.

4. Bài tập tự luyện

1. Tìm hệ số góc và góc nghiêng của $x+y-3=0$.
2. Viết đường qua $(2;1)$ có hệ số góc 0.
3. Đường qua $(1;-2)$ và $(1;4)$ có hệ số góc không? Viết phương trình của nó.

5. Những lỗi cần tránh

• Giới hạn góc nghiêng trong 0–90 độ, làm mất các đường có độ dốc âm.
• Nhầm góc nghiêng với góc không vượt quá 90 độ giữa hai đường.
• Chia cho hiệu hoành độ 0 hoặc hệ số $B=0$.
• Chỉ từ cùng hệ số góc suy ra hai đường trùng nhau.

Hình của tài liệu cũ để đối chiếu: Hình 1 · Hình 2.