Hình chiếu vuông góc của một điểm lên đường thẳng.
Hình chiếu vuông góc của một điểm lên đường thẳng. Trong măt phẳng $Oxy$ để tìm toạ độ của điểm $H$ là hình chiếu của $M$ lên đường thẳng $d$ ta có thể tiến hành các bước như sau
Bước 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua $\Delta$ đi qua $M$ và vuông góc với $d$.
Bước 2. Điểm $H = \Delta \cap d$.
Ví dụ 1. Tìm hình chiếu vuông góc của điểm $M\left( { - 1;3} \right)$ lên đường thẳng $d:2x - y + 1 = 0.$
Bước 1. Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $d$. Ta có ${{\vec n}_d} = \left( {2; - 1} \right) \Rightarrow {{\vec u}_d} = \left( {1;2} \right)$. Vì $\Delta \bot d$ nên ${{\vec n}_\Delta } = {{\vec u}_d} = \left( {1;2} \right).$ Do đó phương trình của $\Delta$ là $$\Delta :1 \cdot \left( {x + 1} \right) + 2 \cdot \left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 5 = 0.$$
Bước 2. Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ lên $d$. Vì $H = \Delta \cap d$ nên toạ độ của $H$ là nghiệm của hệ phương trình $$\left\{ \begin{array}{l} 2x - y + 1 = 0\\ x + 2y - 5 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 3/5\\ y = 11/5 \end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{3}{5};\frac{{11}}{5}} \right).$$
Cách khác. Vì $H \in d \Rightarrow H\left( {h;2h + 1} \right).$ Suy ra $\overrightarrow {MH} = \left( {h + 1;2h - 2} \right).$ Vector chỉ phương của $d$ là $\vec u = \left( {1;2} \right).$ Vì $\overrightarrow {MH} \bot d$ nên $\overrightarrow {MH} \bot \vec u \Leftrightarrow \overrightarrow {MH} \cdot \vec u = 0 \Leftrightarrow h + 1 + 2\left( {2h - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow h = \frac{3}{5} \Rightarrow H\left( {\frac{3}{5};\frac{{11}}{5}} \right).$
Bình luận. Cách 1 tỏ ra dễ hiểu nhưng khá dài dòng. Khi làm những bài tập phức tạp, nhất là những bài có chứa tham số, ta nên dùng cách 2.
Đối xứng của một điểm qua đường thẳng. Trong mặt phẳng $Oxy$ để tìm toạ độ điểm $M'$ là đối xứng của điểm $M$ qua đường thẳng $d$ ta tiến hành các bước sau
Bước 1. Tìm toạ độ điểm $H$ là hình chiếu của điểm $M$ lên đường thẳng $\Delta$.
Bước 2. Tìm toạ độ điểm $M'$ theo công thức trung điểm $$\left\{ \begin{array}{l} {x_H} = \frac{{{x_M} + {x_{M'}}}}{2}\\ {y_H} = \frac{{{y_M} + {y_{M'}}}}{2} \end{array} \right. .$$
Ví dụ 2. Tìm toạ độ điểm $M'$ là đối xứng của điểm $M\left( { - 1;3} \right)$ qua đường thẳng $d:2x - y + 1 = 0.$
Bước 1. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $M$ lên đường thẳng $d$. Từ ví dụ 1 ta có $H\left( {\frac{3}{5};\frac{{11}}{5}} \right).$
Bước 2. Vì $H$ là trung điểm của $MM'$ nên $$\left\{ \begin{array}{l} {x_H} = \frac{{{x_M} + {x_{M'}}}}{2}\\ {y_H} = \frac{{{y_M} + {y_{M'}}}}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M}\\ {y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_{M'}} = 2 \cdot \frac{3}{5} - \left( { - 1} \right)\\ {y_{M'}} = 2 \cdot \frac{{11}}{5} - 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_{M'}} = \frac{{11}}{5}\\ {y_{M'}} = \frac{7}{5} \end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{{11}}{5};\frac{7}{5}} \right).$$
Bài tập
(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
Góp ý hoặc một bài toán của Quý học viên hoặc Quý Phụ Huynh