Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.

Dùng tích vô hướng hai vector chỉ phương để tính góc giữa hai đường thẳng. Trong không gian cho hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ lần lượt có vector chỉ phương là ${\vec u_1},{\vec u_2}$. Khi đó góc hợp bởi giữa hai đường thẳng $\alpha  = \left( {{d_1},{d_2}} \right)$ hoặc bằng $\hbox{(hình 1)}$ hoặc bù $\hbox{(hình 2)}$ với góc hợp bởi hai vector chỉ phương $\varphi  = \left( {{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}} \right)$.  

Vì ${0^o} \leqslant \alpha  \leqslant {90^0}$ trong khi đó ${0^o} \leqslant \alpha  \leqslant {180^0}$ nên $$\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {{{\vec n}_1},{{\vec n}_2}} \right)} \right|. = \frac{{\left| {{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right|\left| {{{\vec n}_2}} \right|}}.$$ Đặc biệt $${d_1} \bot {d_2} \Leftrightarrow {{\vec n}_1} \bot {{\vec n}_2} \Leftrightarrow {{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2} = 0.$$

Ví dụ. Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$ có độ dài cạnh là $a$. Tính góc giữa đường thẳng $AC$ và $DE$.
Giải. Vector chỉ phương của hai đường thẳng này lần lượt là ${\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {DE} }$. Ta có

$\overrightarrow {AC}  \cdot \overrightarrow {DE}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DH} } \right) $
$= \underbrace {\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {DA} }_0 + \underbrace {\overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {DH} }_0 + \underbrace {\overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {DA} }_{ - {a^2}} + \underbrace {\overrightarrow {AD}  \cdot \overrightarrow {DH} }_0 =  - {a^2}.$
$ \Rightarrow \cos \left( {\widehat {AC,DE}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {DE} } \right)} \right| = \frac{1}{2}.$
$\Rightarrow \left( {\widehat {AC,DE}} \right) = {60^o}.$

 

---