Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.

 

 

 

Giải. Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A\left( {1; - 1} \right)$ và có hệ số góc là $k$ có dạng $$\left( \Delta \right):\;\;\;y = k\left( {x - 1} \right) - 1.$$ 
$\Delta$ trở thành tiếp tuyến, tức là tiếp xúc với $\left( C \right)$ khi hệ sau có nghiệm $$\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} - 3x + 1 = k\left( {x - 1} \right) - 1\;\;\;\left( 1 \right)\\
3{x^2} - 3 = k\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)
\end{array} \right.$$ Thay $\left( 2 \right)$ vào $\left( 1 \right)$ ta được
$${x^3} - 3x + 1 = \left( {3{x^2} - 3} \right)\left( {x - 1} \right) - 1 \Leftrightarrow  - 2{x^3} + 3{x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - \frac{1}{2}\\
x = 1
\end{array} \right.$$ Với $x = 1 \Rightarrow y =  - 1,k = 0  $. Suy ra tiếp tuyến $$\left( {{\Delta_1}} \right):\;\;\;y =  - 1$$ và tiếp điểm ${M_1}\left( {1; - 1} \right)$.

Với $x =  - {1 \over 2} \Rightarrow y = {{19} \over 8},k =  - {9 \over 4}  $. Suy ra tiếp tuyến $$\left( {{\Delta_2}} \right):\;\;\;y =  - {9 \over 4}\left( {x + {1 \over 2}} \right) + {{19} \over 8} \Leftrightarrow y =  - {9 \over 4}x + {5 \over 4}$$ và tiếp điểm ${M_2}\left( { - {1 \over 2};{{19} \over 8}} \right)$.


 

Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ $\left( C \right) $ $f\left( x \right) = {x^4} - 4{x^2} + 1$ đi qua điểm $A\left( {2;1} \right).$
 

 

Giải. Ta có $f'\left( x \right) = 4{x^3} - 8x.$ Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A\left( {2;1} \right)$ và có hệ số góc $k$ có phương trình dạng $$\left( \Delta  \right):y = k\left( {x - 2} \right) + 1.$$ Đường thẳng $\Delta$ tiếp xúc với $\left( C \right)$ khi hệ $$\left\{ \begin{array}{l} {x^4} - 4{x^2} + 1 = k\left( {x - 2} \right) + 1{\rm{          }}\left( 1 \right)\\ 4{x^3} - 8x = k{\rm{                                }}\left( 2 \right) \end{array} \right.$$ có ít nhất một nghiệm. Thay $k=4{x^3} - 8x$ ở $\left( 2 \right)$ vào $\left( 1 \right)$ ta được $${x^4} - 4{x^2} + 1 = \left( {4{x^3} - 8x} \right)\left( {x - 2} \right) + 1 \Leftrightarrow x\left( {x - 2} \right)\left( {3{x^2} - 2x - 8} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = 0\\ x =  - \frac{4}{3} \end{array} \right..$$ Với $x = 2 \Rightarrow y = 1$, ta được tiếp điểm ${M_1}\left( {2;1} \right)$, hệ số góc ${k_1} = 16$ và tiếp tuyến $\left( {{\Delta _1}} \right):y = 16x - 31.$

Với $x = 0 \Rightarrow y = 1$, ta được tiếp điểm ${M_2}\left( {0;1} \right)$, hệ số góc ${k_2} = 0$ và tiếp tuyến $\left( {{\Delta _2}} \right):y = 1.$

Với $x = - \frac{4}{3} \Rightarrow y = - \frac{239}{81}$, ta được tiếp điểm ${M_3}\left( {- \frac{4}{3};- \frac{239}{81}} \right)$, hệ số góc ${k_3} = \frac{32}{27}$ và tiếp tuyến $\left( {{\Delta _3}} \right):y = \frac{{32}}{{27}}x - \frac{{37}}{{27}}.$

Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ $\left( C \right) $ $f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{x - 2}}$ đi qua điểm $A\left( {5;-1} \right).$
 

 

Giải. Ta có $f'\left( x \right) = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A\left( {5;-1} \right)$ và có hệ số góc $k$ có phương trình dạng $$\left( \Delta  \right):y = k\left( {x - 5} \right) - 1.$$ Đường thẳng $\Delta$ tiếp xúc với $\left( C \right)$ khi hệ $$\left\{ \begin{array}{l} \frac{{2x - 1}}{{x - 2}} = k\left( {x - 5} \right) - 1{\rm{          }}\left( 1 \right)\\ \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = k{\rm{                        }}\left( 2 \right) \end{array} \right.$$ có ít nhất một nghiệm. Thay $k= \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} $ ở $\left( 2 \right)$ vào $\left( 1 \right)$ ta được $$\frac{{2x - 1}}{{x - 2}} = \frac{{ - 3\left( {x - 5} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x =  - 1\\ x = 3 \end{array} \right..$$ Với $x = -1 \Rightarrow y = 1$, ta được tiếp điểm ${M_1}\left( {-1;1} \right)$, hệ số góc ${k_1} =- \frac{1}{3}$ và tiếp tuyến $\left( {{\Delta _1}} \right): y =  - \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}.$

Với $x = 3 \Rightarrow y = 5$, ta được tiếp điểm ${M_2}\left( {3;5} \right)$, hệ số góc ${k_2} = -3$ và tiếp tuyến $\left( {{\Delta _2}} \right):y = -3x+14.$
 

Ví dụ 4. Tìm điểm $A$ thuộc $Ox$ để từ đó kẻ được $3$ tiếp tuyến đến đồ thị hàm số $\left( C \right):y = {x^3} + 3{x^2}.$
 

 

Giải. Điểm $A$ thuộc $Ox$ nên toạ độ có dạng $A\left( {a;0} \right)$. Giả sử tiếp tuyến $T$ kẻ từ $A$ có hệ số góc $k$, suy ra $$\left( T \right):\;\;\;y = k\left( {x - a} \right).$$ Khi đó $T$ tiếp xúc với $\left(  *  \right)\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} + 3{x^2} = k\left( {x - a} \right){\rm{          }}\left( 1 \right)\\
3{x^2} + 6x = k{\rm{                                }}\left( 2 \right)
\end{array} \right.$
Thay $\left( 2 \right)$ vào $\left( 1 \right)$ ta được $${x^3} + 3{x^2} = \left( {3{x^2} + 6x} \right)\left( {x - a} \right) \Leftrightarrow x\left[ {\left( {{x^2} + 3x} \right) - \left( {3x + 6} \right)\left( {x - a} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
  - 2{x^2} + 3\left( {a - 1} \right)x + 6a = 0\;\;\;\;\;\;\left( 3 \right)
\end{array} \right.$$ Từ $A$ kẻ được $3$ tiếp tuyến đến đồ thị $ \Leftrightarrow $ HPT $\left(  *  \right)$ có $3$ nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow $ PT $\left(  3  \right)$ có hai nghiệm phân biệt khác $0$. 
$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\Delta _g} > 0\\
g\left( 0 \right) \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left[ {3\left( {a - 1} \right)} \right]^2} - 4\left( { - 2} \right)6a > 0\\
6a \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
a <  - 3\\
a >  - \frac{1}{3}
\end{array} \right.\\
a \ne 0
\end{array} \right.$$ Vậy những điểm $A\left( {a;0} \right)$, với $a <  - 3$ hoặc $a >  - \frac{1}{3}$, $a \ne 0$ sẽ kẻ đươc $3$ tiếp tuyến đến đồ thị hàm số.

---