Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.
Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.
Phương trình bậc nhất đối với $\sin x $ và $\ cos x$
Phương trình bậc nhất đối với $\sin x$ và $\cos x$ và các ví dụ. Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất đối với $\sin x$ và $\cos x$.
Phương trình bậc nhất đối với $\sin x$ và $\cos x$ có dạng $$a\sin x + b\cos x = c,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$$ trong đó $a,b,c \in \mathbb{R}.$
Chia hai vế của $\left( 1 \right)$ cho $\sqrt {{a^2} + {b^2}} $ ta được $$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$$
Nếu tồn tại góc lượng giác $\alpha$ sao cho $\cos \alpha = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }},sin\alpha = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$ thì $$\eqalign{
& \left( 1 \right) \Leftrightarrow \sin x\cos \alpha + \cos x\sin \alpha = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \cr
& \,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \sin \left( {x + \alpha } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right). \cr} $$
Vì tập giá trị của hàm $\sin $ là $\left[ { - 1;1} \right]$ nên $\left( 2 \right)$ có nghiệm khi và chỉ khi $$\left| {\frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right|\, \leqslant 1 \Leftrightarrow {c^2} \leqslant {a^2} + {b^2}\;\;\left( * \right)$$ Bất đẳng thức $\left( * \right)$ cũng chính là điều kiện để phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm.
Ví dụ 1. Giải phương trình $\sin x + \sqrt 3 \cos x = 1$.
Chia hai vế của $\left( 1 \right)$ cho $\sqrt {{a^2} + {b^2}} $ ta được $$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$$
Nếu tồn tại góc lượng giác $\alpha$ sao cho $\cos \alpha = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }},sin\alpha = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$ thì $$\eqalign{
& \left( 1 \right) \Leftrightarrow \sin x\cos \alpha + \cos x\sin \alpha = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \cr
& \,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \sin \left( {x + \alpha } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right). \cr} $$
Vì tập giá trị của hàm $\sin $ là $\left[ { - 1;1} \right]$ nên $\left( 2 \right)$ có nghiệm khi và chỉ khi $$\left| {\frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right|\, \leqslant 1 \Leftrightarrow {c^2} \leqslant {a^2} + {b^2}\;\;\left( * \right)$$ Bất đẳng thức $\left( * \right)$ cũng chính là điều kiện để phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm.
Ví dụ 1. Giải phương trình $\sin x + \sqrt 3 \cos x = 1$.
Giải. Chia hai vế của PT cho $\sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} = 2$ ta được $$\begin{array}{l}
PT \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \frac{1}{2}\\
\Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{3}\sin x + \sin \frac{\pi }{3}\cos x = \frac{1}{2}\\
\Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \frac{\pi }{6}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x + \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x = \frac{\pi }{2} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}$$
PT \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \frac{1}{2}\\
\Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{3}\sin x + \sin \frac{\pi }{3}\cos x = \frac{1}{2}\\
\Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \frac{\pi }{6}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x + \frac{\pi }{3} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x = \frac{\pi }{2} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}$$
Ví dụ 2. Giải phương trình $\sin x + \cos x = 1$.
Giải. Chia hai vế của PT cho $\sqrt {{1^2} + {{\left( 1 \right)}^2}} = \sqrt 2 $ ta có $$\begin{array}{l}
PT \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin x + \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\
{\rm{ }} \Leftrightarrow \sin \frac{\pi }{4}\sin x + \cos \frac{\pi }{4}\cos x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\
{\rm{ }} \Leftrightarrow \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \frac{\pi }{4}\\
{\rm{ }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\
x - \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi
\end{array} \right.\\
{\rm{ }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
x = k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}$$
PT \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin x + \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\
{\rm{ }} \Leftrightarrow \sin \frac{\pi }{4}\sin x + \cos \frac{\pi }{4}\cos x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\
{\rm{ }} \Leftrightarrow \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \frac{\pi }{4}\\
{\rm{ }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\
x - \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi
\end{array} \right.\\
{\rm{ }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
x = k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}$$
Ví dụ 3. Giải phương trình $\sin x + \sqrt 3 \cos x = \frac{1}{2}$.
Giải. Chia hai vế của PT cho $\sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} = 2$ ta có
$$PT \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \sin \frac{\pi }{6}\sin x + \cos \frac{\pi }{6}\cos x = \frac{1}{4}$$ Vì $ - 1 \leqslant \frac{1}{4} \leqslant 1$ nên tồn tại góc $\alpha$ sao cho $\cos \alpha = \frac{1}{4},$ tức là $\alpha = \arccos \left( {\frac{1}{4}} \right).$
$${\text{ }}PT \Leftrightarrow \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x - \frac{\pi }{6} = \alpha + k2\pi \hfill \\
x - \frac{\pi }{6} = - \alpha + k2\pi \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = \alpha + \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\
x = - \alpha + \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\
\end{gathered} \right.$$
$$PT \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sin x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \sin \frac{\pi }{6}\sin x + \cos \frac{\pi }{6}\cos x = \frac{1}{4}$$ Vì $ - 1 \leqslant \frac{1}{4} \leqslant 1$ nên tồn tại góc $\alpha$ sao cho $\cos \alpha = \frac{1}{4},$ tức là $\alpha = \arccos \left( {\frac{1}{4}} \right).$
$${\text{ }}PT \Leftrightarrow \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x - \frac{\pi }{6} = \alpha + k2\pi \hfill \\
x - \frac{\pi }{6} = - \alpha + k2\pi \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = \alpha + \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\
x = - \alpha + \frac{\pi }{6} + k2\pi \hfill \\
\end{gathered} \right.$$
Tác giả bài viết: Cùng Học Toán
Chú ý: Việc đăng lại bài viết trên ở website hoặc các phương tiện truyền thông khác mà không ghi rõ nguồn http://nukeviet.vn là vi phạm bản quyền
Góp ý hoặc một bài toán của Quý học viên hoặc Quý Phụ Huynh