Phương trình lượng giác đẳng cấp bậc cao. Cũng giống như phương trình đẳng cấp bậc hai, phương trình lượng giác đẳng cấp bậc cao có thể giải như sau: Xét hai trường hợp
TH1: $\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1$, thay vào PT xem có thoả hay không.
TH2. $\cos x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,$ ta chia hai vế của PT cho luỹ thừa cao nhất của phương trình đối với $\cos x$ để đưa về phương trình bậc cao theo $\tan x$.
Ví dụ 1. Giải phương trình ${\cos ^3}x - 4{\sin ^3}x - 3\cos x{\sin ^2}x + \sin x = 0{\rm{ }}\left( * \right)$
Giải. Ta xét hai trường hợp
TH1: $\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = 1\\
\sin x = - 1
\end{array} \right..$
Với $\cos x = 0,\sin x = 1$, thay vào $\left( * \right)$ ta được $\left( * \right) \Leftrightarrow - 4 + 1 = 0$, vô lý.
Với $\cos x = 0,\sin x = - 1$, thay vào $\left( * \right)$ ta được $\left( * \right) \Leftrightarrow 4 - 1 = 0$, vô lý.
Vậy $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi $ không là nghiệm của $\left( * \right)$.
TH2: $\cos x \ne 0,$ chia hai vế của $\left( * \right)$ cho ${\cos ^3}x$ ta được $$\begin{array}{l}
{\rm{ }}1 - 4{\tan ^3}x - 3{\tan ^2}x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 0\\
\Leftrightarrow 1 - 4{\tan ^3}x - 3{\tan ^2}x + \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow 4{\tan ^3}x + 2{\tan ^2}x - 2 = 0.\\
\Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi .
\end{array}$$
Kết hợp cả hai trường hợp ta được nghiệm của phương trình là $x = \frac{\pi }{4} + k\pi .$
Bài tập
(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
Góp ý hoặc một bài toán của Quý học viên hoặc Quý Phụ Huynh