Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.
Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.
Phương trình đẳng cấp bậc cao
Phương trình lượng giác đẳng cấp bậc cao.
Phương trình lượng giác đẳng cấp bậc cao. Cũng giống như phương trình đẳng cấp bậc hai, phương trình lượng giác đẳng cấp bậc cao có thể giải như sau: Xét hai trường hợp
TH1: $\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1$, thay vào PT xem có thoả hay không.
TH2. $\cos x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,$ ta chia hai vế của PT cho luỹ thừa cao nhất của phương trình đối với $\cos x$ để đưa về phương trình bậc cao theo $\tan x$.
TH2. $\cos x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,$ ta chia hai vế của PT cho luỹ thừa cao nhất của phương trình đối với $\cos x$ để đưa về phương trình bậc cao theo $\tan x$.
Ví dụ 1. Giải phương trình ${\cos ^3}x - 4{\sin ^3}x - 3\cos x{\sin ^2}x + \sin x = 0{\rm{ }}\left( * \right)$
Giải. Ta xét hai trường hợp
TH1: $\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = 1\\
\sin x = - 1
\end{array} \right..$
\sin x = 1\\
\sin x = - 1
\end{array} \right..$
Với $\cos x = 0,\sin x = 1$, thay vào $\left( * \right)$ ta được $\left( * \right) \Leftrightarrow - 4 + 1 = 0$, vô lý.
Với $\cos x = 0,\sin x = - 1$, thay vào $\left( * \right)$ ta được $\left( * \right) \Leftrightarrow 4 - 1 = 0$, vô lý.
Với $\cos x = 0,\sin x = - 1$, thay vào $\left( * \right)$ ta được $\left( * \right) \Leftrightarrow 4 - 1 = 0$, vô lý.
Vậy $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi $ không là nghiệm của $\left( * \right)$.
TH2: $\cos x \ne 0,$ chia hai vế của $\left( * \right)$ cho ${\cos ^3}x$ ta được $$\begin{array}{l}
{\rm{ }}1 - 4{\tan ^3}x - 3{\tan ^2}x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 0\\
\Leftrightarrow 1 - 4{\tan ^3}x - 3{\tan ^2}x + \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow 4{\tan ^3}x + 2{\tan ^2}x - 2 = 0.\\
\Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi .
\end{array}$$
Kết hợp cả hai trường hợp ta được nghiệm của phương trình là $x = \frac{\pi }{4} + k\pi .$
TH2: $\cos x \ne 0,$ chia hai vế của $\left( * \right)$ cho ${\cos ^3}x$ ta được $$\begin{array}{l}
{\rm{ }}1 - 4{\tan ^3}x - 3{\tan ^2}x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 0\\
\Leftrightarrow 1 - 4{\tan ^3}x - 3{\tan ^2}x + \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow 4{\tan ^3}x + 2{\tan ^2}x - 2 = 0.\\
\Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi .
\end{array}$$
Kết hợp cả hai trường hợp ta được nghiệm của phương trình là $x = \frac{\pi }{4} + k\pi .$
Tác giả bài viết: Cùng Học Toán
Góp ý hoặc một bài toán của Quý học viên hoặc Quý Phụ Huynh