Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.
Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.
Phương trình lượng giác đẳng cấp bậc hai
Phương trình lượng giác đẳng cấp bậc hai
Phương trình đẳng cấp bậc hai. Là phương trình lượng giác có dạng $$a{\sin ^2}x + b\sin x\cos x + c{\cos ^2}x + = d\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$$
Ví dụ 1. Giải phương trình $2{\sin ^2}x + \sin x\cos x + 3{\cos ^2}x - 2 = 0\,\,\,\left( * \right)$
Cách giải 1. Dùng các công thức hạ bậc và công thức nhân đôi
$${\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2};{\rm{ }}{\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2};\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x.$$
Thay vào $\left( 1 \right)$ ta được phương trình bậc nhất đối với $\sin 2x$ và $\cos 2x$.
Cách giải 2. Xét hai trường hợp
$${\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2};{\rm{ }}{\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2};\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x.$$
Thay vào $\left( 1 \right)$ ta được phương trình bậc nhất đối với $\sin 2x$ và $\cos 2x$.
Cách giải 2. Xét hai trường hợp
TH1: $\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1$, thay vào $\left( 1 \right)$ xem có thoả hay không.
TH2. $\cos x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,$ ta chia hai vế của $\left( 1 \right)$ cho $\cos x$ để đưa về phương trình bậc $2$ theo $\tan x$.
TH2. $\cos x \ne 0$ $ \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,$ ta chia hai vế của $\left( 1 \right)$ cho $\cos x$ để đưa về phương trình bậc $2$ theo $\tan x$.
Ví dụ 1. Giải phương trình $2{\sin ^2}x + \sin x\cos x + 3{\cos ^2}x - 2 = 0\,\,\,\left( * \right)$
Giải. Cách 1. $\begin{array}{l}
PT \Leftrightarrow 1 - \cos 2x + \frac{1}{2}\sin 2x + 3\frac{{1 + \cos 2x}}{2} - 2 = 0\\
\,\,\,\,\,\,{\rm{ }}\, \Leftrightarrow \sin 2x + \cos 2x + 1 = 0\\
{\rm{ }} \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) + 1 = 0\\
{\rm{ }} \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\
{\rm{ }} \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)\\
{\rm{ }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\
2x + \frac{\pi }{4} = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
2x = \pi + k2\pi
\end{array} \right.\\
{\rm{ }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\
x = \frac{\pi }{2} + k\pi
\end{array} \right.{\rm{ }}
\end{array}$
Cách 2. Ta xét $2$ trường hợp
PT \Leftrightarrow 1 - \cos 2x + \frac{1}{2}\sin 2x + 3\frac{{1 + \cos 2x}}{2} - 2 = 0\\
\,\,\,\,\,\,{\rm{ }}\, \Leftrightarrow \sin 2x + \cos 2x + 1 = 0\\
{\rm{ }} \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) + 1 = 0\\
{\rm{ }} \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\
{\rm{ }} \Leftrightarrow \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)\\
{\rm{ }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\
2x + \frac{\pi }{4} = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
2x = \pi + k2\pi
\end{array} \right.\\
{\rm{ }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\
x = \frac{\pi }{2} + k\pi
\end{array} \right.{\rm{ }}
\end{array}$
Cách 2. Ta xét $2$ trường hợp
TH1: Với $\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1$ thoả $\left( * \right)$ nên $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi $ là nghiệm của $\left( * \right)$.
TH2: Với $\cos x \ne 0$, chia hai vế của $\left( * \right)$ cho ${\cos ^2}x$ ta được $$\begin{array}{l}
\left( * \right) \Leftrightarrow 2{\tan ^2}x + \tan x + 3 - \frac{2}{{{{\cos }^2}x}} = 0\\
\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2{\tan ^2}x + \tan x + 3 - 2\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) = 0\\
\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \tan x + 1 = 0 \Leftrightarrow \tan x = - 1\\
\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \tan x = \tan \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)\\
\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi .
\end{array}$$ Kết hợp cả hai trường hợp ta được nghiệm của phương trình là $x = - \frac{\pi }{4} + k\pi $ hoặc $x = \frac{\pi }{2} + k\pi .$
TH2: Với $\cos x \ne 0$, chia hai vế của $\left( * \right)$ cho ${\cos ^2}x$ ta được $$\begin{array}{l}
\left( * \right) \Leftrightarrow 2{\tan ^2}x + \tan x + 3 - \frac{2}{{{{\cos }^2}x}} = 0\\
\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2{\tan ^2}x + \tan x + 3 - 2\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) = 0\\
\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \tan x + 1 = 0 \Leftrightarrow \tan x = - 1\\
\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \tan x = \tan \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)\\
\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi .
\end{array}$$ Kết hợp cả hai trường hợp ta được nghiệm của phương trình là $x = - \frac{\pi }{4} + k\pi $ hoặc $x = \frac{\pi }{2} + k\pi .$
Tác giả bài viết: Cùng Học Toán
Góp ý hoặc một bài toán của Quý học viên hoặc Quý Phụ Huynh