Tích vô hướng của hai vector. Ứng dụng.

Định nghĩa. Tích vô hướng của hai vector $\vec u$ và $\vec v$, ký hiệu $\vec u \cdot \vec v,$ là một số thực được định nghĩa như sau $$\vec u \cdot \vec v = \left| {\vec u} \right| \cdot \left| {\vec v} \right| \cdot \cos \alpha ,$$ trong đó $\alpha  = \left( {\vec u,\vec v} \right)$ là góc hợp bởi hai vector $\vec u$ và $\vec v$.

Ví dụ 1. Giả sử $\left| {\vec u} \right| = a,{\text{ }}\left| {\vec v} \right| = b,{\text{ }}\left( {\vec u,\vec v} \right) = {60^o}$ thì $$\vec u \cdot \vec v = \left| {\vec u} \right| \cdot \left| {\vec v} \right| \cdot \cos \left( {\vec u,\vec v} \right) = a \cdot b \cdot \cos {60^o} = \frac{{ab}}{2}.$$

Ứng dụng tích vô hướng để tính độ dài vector. Cho $\vec a$ là một vector bất kì trong không gian. Vì $\left( {\vec a,\vec a} \right) = \vec 0$ nên $\vec a \cdot \vec a = \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec a} \right|\cos \left( {\vec a,\vec a} \right) = {\left| {\vec a} \right|^2}\cos {0^o} = {\left| {\vec a} \right|^2}.$ Từ đây suy ra $$\left| {\vec a} \right| = \sqrt {{{\vec a}^2}} .$$

Ví dụ 2. Trong không gian cho hai vector $\vec a$ và $\vec b$ hợp nhau một góc $\left| {\vec a} \right| = 3,{\text{ }}\left| {\vec b} \right| = 5.$ Bây giờ ta tính độ lớn của vector tổng $\left| {\vec a + \vec b} \right|$. Ta có$${\left( {\vec a + \vec b} \right)^2} = {{\vec a}^2} + 2 \cdot \vec a \cdot \vec b + {{\vec b}^2} = {\left| {\vec a} \right|^2} + 2\left| {\vec a} \right|\left| {\vec b} \right|\cos \left( {\vec a,\vec b} \right) + {\left| {\vec b} \right|^2} = 9 + 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos {30^o} + 25 = 34 + 15\sqrt 3 .$$





Ứng dụng tích vô hướng để tính chứng minh hai đường thẳng vuông góc. Trong không gian, cho hai hai đường thẳng $a$  và $b$  lần lượt có vector chỉ phương là $\vec u$  và $\vec v$, từ mối liên hệ giữa góc hợp bởi hai đường thẳng và góc hợp bởi hai vector chỉ phương ta có $a \bot b \Leftrightarrow \vec u \bot \vec v \Leftrightarrow \left( {\vec u,\vec v} \right) = {90^o} \Rightarrow \vec u \cdot \vec v = \left| {\vec u} \right| \cdot \left| {\vec v} \right|\cos {90^o} = 0.$ Tóm lại $$a \bot b \Leftrightarrow \vec u \cdot \vec v = 0.$$ Ứng dụng này sẽ bàn kĩ hơn ở bài Hai đường thẳng vuông góc.


 

---