Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.
Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.
Tích phân hàm vô tỷ
Tích phân hàm vô tỷ. Tích phân có chứa căn thức.
Tích phân hàm vô tỷ. Đôi với tích phân có chứa căn thức, ta thường dùng phương pháp đổi biến, nhân cho lượng liên hợp,...
Ví dụ 1. Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {{x^3}\sqrt {1 - {x^2}} dx} .$
Ví dụ 1. Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {{x^3}\sqrt {1 - {x^2}} dx} .$
Giải. Đặt $t = \sqrt {1 - {x^2}} \Rightarrow {t^2} = 1 - {x^2} \Rightarrow 2tdt = - 2xdx \Rightarrow xdx = - tdt.$
Đổi cận
Suy ra $$I = \int\limits_0^1 {{x^2}\sqrt {1 - {x^2}} xdx} = \int\limits_1^0 {\left( {1 - {t^2}} \right)t\left( { - tdt} \right)} = \,\int\limits_0^1 {\left( {{t^2} - {t^4}} \right)dt} = \left( {\left. {\frac{{{t^3}}}{3} - \frac{{{t^5}}}{5}} \right|} \right)_0^1 = \frac{2}{{15}}.$$
Ví dụ 2. Tính tích phân $I = \int\limits_1^3 {\frac{1}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {x - 1} }}dx} .$
Suy ra $$I = \int\limits_0^1 {{x^2}\sqrt {1 - {x^2}} xdx} = \int\limits_1^0 {\left( {1 - {t^2}} \right)t\left( { - tdt} \right)} = \,\int\limits_0^1 {\left( {{t^2} - {t^4}} \right)dt} = \left( {\left. {\frac{{{t^3}}}{3} - \frac{{{t^5}}}{5}} \right|} \right)_0^1 = \frac{2}{{15}}.$$
Giải.Ta có $$\frac{1}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {x - 1} }} = \frac{{\sqrt {x + 1} - \sqrt {x - 1} }}{{\left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt {x - 1} } \right)\left( {\sqrt {x + 1} - \sqrt {x - 1} } \right)}} = \frac{{\sqrt {x + 1} - \sqrt {x - 1} }}{2}$$
Suy ra $$I = \frac{1}{2}\int\limits_1^3 {\left( {\sqrt {x + 1} - \sqrt {x - 1} } \right)dx} = \frac{1}{3}\left[ {\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^3}} - \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^3}} } \right]_1^3 = \frac{{8 - 4\sqrt 2 }}{3}.$$
Suy ra $$I = \frac{1}{2}\int\limits_1^3 {\left( {\sqrt {x + 1} - \sqrt {x - 1} } \right)dx} = \frac{1}{3}\left[ {\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^3}} - \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^3}} } \right]_1^3 = \frac{{8 - 4\sqrt 2 }}{3}.$$
Tác giả bài viết: Cùng Học Toán
Góp ý hoặc một bài toán của Quý học viên hoặc Quý Phụ Huynh