Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.

Ta sẽ xét các tính chất và cũng như các ví dụ về các nhóm cấp $  1, 2, 3, 4, 5, 6 $. Riêng nhóm cấp $  1 $ thì là nhóm đơn vị. Ta cũng dễ dàng có được.

1. Mọi nhóm có cấp nguyên tố đều cyclic đều cyclic.

Chứng minh. Giả sử nhóm $  G $ có cấp là số nguyên tố $  p $. Nếu $  g \in G $ là phần tử khác đơn vị thì theo định lý Lagrange thì cấp của $  g $ là ước của $  p $, Điều này buộc cấp của $  g $ là $  p $, vì $  p $ là số nguyên tố. Như vậy $  G $ là nhóm cyclic sinh bởi phần tử cấp $  g $. $  \square $
Từ đây ta dễ dàng có được các mệnh đề sau.

2. Nhóm cấp $  2, 3, 5 $ là nhóm cyclic.

3. Nhóm cấp $  4 $ là nhóm giao hoán.

Chứng minh. Giả sử nhóm $  G = \left\{ {e;a;b;c} \right\}$ . Nếu $  G $ là nhóm cyclic thì $  G $ giao hoán. Nếu $  G $ không phải là nhóm cyclic thì theo định lý Lagrange thì các phần tử $  a $, $  b $ và $  c $đều có cấp $  2 $. Vì cả ba phần tử này đều khác đơn vị nên ta có
$$  \left. \begin{gathered}
ab \ne a \hfill \\
ab \ne b \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow ab = c. $$ Và tương tự như vậy ta cũng chứng minh được $  ba = c $. Nghĩa là $  a $ và $  b $ giao hoán nhau. Và cũng như vậy ta sẽ chứng minh được $  a $, $  b $ và $  c $ đôi một giao hoán với nhau. Nghĩa là $  G $ là nhóm giao hoán. $  \square $

Ví dụ 1. Nhóm Klein $  V_4 $ là không phải là nhóm cyclic. Đây là nhóm con của nhóm các phép thế $  S_4 $.
$$  {V_4} = \left\{ {e;\left( {12} \right)\left( {34} \right);\left( {13} \right)\left( {24} \right);\left( {14} \right)\left( {23} \right)} \right\}$$

4. Mọi nhóm giao hoán cấp $  6 $ đều cyclic.

Chứng minh. Xem ở đây.

Ví dụ 2. Nhóm đối xứng của tam giác đều là nhóm cấp $  6 $ không giao hoán. Xem ở đây.