Số phần tử của một trường hữu hạn
Thứ sáu - 29/04/2016 00:49
Số phần tử của một trường hữu hạn
Số phần tử của một trường hữu hạn là $ {p^n},n \in {\mathbb{N}^ * }$, $ p $ là một số nguyên tố.
$\hbox{(The finite field has $ p^n $ elements for some prime number $ p $ and $ n \in {\mathbb{N}^ * } $.)}$
Chứng minh. Giả $ F $ là một trường hữu hạn có có trường con nguyên tố là $ F_p $. Ta dễ dàng kiểm chứng được $ F $ là một không gian vector hữu hạn chiều trên $ F_n $, ta gọi $ x_1, x_2, ..., x_n $ là cơ sở của không gian vector này. Vì mọi phần tử của $ x \in F $ đều có một sự biểu diễn duy nhất
$$ x = {a_1}{x_1} + {a_2}{x_2} + ... + {a_n}{x_n} .$$ Từ đây suy ra số phần tử của $ F $ là $ p^n $.
Tác giả bài viết: Cùng Học Toán