Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.
Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.
Hai đường thẳng cắt nhau
Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian. Hai đường thẳng cắt nhau. Chứng minh hai đường thẳng cắt nhau. Xác định toạ độ giao điểm của hai đường thẳng.
$d_1$ đi qua điểm $M_1$ và có vector chỉ phương ${\vec u_1}.$
$d_2$ đi qua điểm $M_2$ và có vector chỉ phương ${\vec u_2}.$
$d_2$ đi qua điểm $M_2$ và có vector chỉ phương ${\vec u_2}.$
Khi đó $d_1$ cắt $d_2$ tương đương với các mệnh đề sau
$\left( i \right)$ $d_1$ cắt $d_2$ tại duy nhất một điểm;
$\left( ii \right)$ hệ phương trình lập nên từ phương trình của $d_1$ và $d_2$ có một nghiệm duy nhất;
$\left( iii \right)$ $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,{{\vec u}_1},{{\vec u}_2}$ đồng phẳng, tương đương tích hỗn tạp bằng 0; và ${{\vec u}_1},{{\vec u}_2}$ không cùng phương, nghĩa là toạ độ không tỷ lệ.
Ví dụ 1. Chứng minh đường thẳng $\left( {{d_1}} \right):\left\{ \begin{gathered}
x = 1 + t \hfill \\
y = 1 - 2t \hfill \\
z = 3 - 3t \hfill \\
\end{gathered} \right.$ và $\left( {{d_2}} \right):\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + 2t'\\
y = - 1 - t'\\
z = 3t'
\end{array} \right.$ cắt nhau và tìm giao điểm của chúng.
x = 1 + t \hfill \\
y = 1 - 2t \hfill \\
z = 3 - 3t \hfill \\
\end{gathered} \right.$ và $\left( {{d_2}} \right):\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + 2t'\\
y = - 1 - t'\\
z = 3t'
\end{array} \right.$ cắt nhau và tìm giao điểm của chúng.
Giải. Cách 1: dùng mệnh đề $\left( b \right)$: $d_1$ cắt $d_2$ khi hệ sau có nghiệm duy nhất $$\left( * \right){\rm{ }}\left\{ \begin{array}{l}
1 + t = 2 + 2t'\\
1 - 2t = - 1 - t'\\
3 - 3t = 3t'
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t - 2t' = 1{\rm{ }}\left( 1 \right)\\
2t - t' = 2{\rm{ }}\left( 2 \right)\\
3t + 3t' = 3{\rm{ }}\left( 3 \right)
\end{array} \right.$$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $t = 1,t' = 0$, hai giá trị này thoả $\left( 3 \right)$. Suy ra $t = 1,t' = 0$ là nghiệm duy nhất của hệ $\left( * \right)$. Thay $t = 1$ vào phương trình của $d_1$ ta được $x = 2,y = - 1,z = 0 \Rightarrow M\left( {2; - 1;0} \right) = {d_1} \cap {d_2}.$
Cách 2: dùng mệnh đề $\left( c \right)$:
Ta có ${\vec u_{{d_1}}} = \left( {1; - 2; - 3} \right),{\vec u_{{d_2}}} = \left( {2; - 1;3} \right)$ $\Rightarrow \left[ {{{\vec u}_{{d_1}}},{{\vec u}_{{d_2}}}} \right] = \left( { - 9; - 9;3} \right).$
Chọn ${M_1}\left( {1;1;3} \right) \in {d_1},{M_2}\left( {2; - 1;0} \right) \in {d_2}.$
$$\begin{array}{l}
\Rightarrow \overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( {1; - 2; - 3} \right).\\
\Rightarrow \left[ {{{\vec u}_{{d_1}}},{{\vec u}_{{d_2}}}} \right] \cdot \overrightarrow {{M_1}{M_2}} = - 9 \cdot 1 - 9 \cdot \left( { - 2} \right) + 3 \cdot \left( { - 3} \right) = 0.
\end{array}$$
Suy ra $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,$ ${\vec u_{{d_1}}},{\vec u_{{d_2}}}$ đồng phẳng.
Mặt khác $\vec u_{{d_1}}$ không cùng phương với $\vec u_{{d_2}}$ vì toạ độ không tỷ lệ $\frac{1}{2} \ne \frac{{ - 2}}{{ - 1}}.$ Vậy $d_1$ cắt $d_2$.
1 + t = 2 + 2t'\\
1 - 2t = - 1 - t'\\
3 - 3t = 3t'
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t - 2t' = 1{\rm{ }}\left( 1 \right)\\
2t - t' = 2{\rm{ }}\left( 2 \right)\\
3t + 3t' = 3{\rm{ }}\left( 3 \right)
\end{array} \right.$$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $t = 1,t' = 0$, hai giá trị này thoả $\left( 3 \right)$. Suy ra $t = 1,t' = 0$ là nghiệm duy nhất của hệ $\left( * \right)$. Thay $t = 1$ vào phương trình của $d_1$ ta được $x = 2,y = - 1,z = 0 \Rightarrow M\left( {2; - 1;0} \right) = {d_1} \cap {d_2}.$
Cách 2: dùng mệnh đề $\left( c \right)$:
Ta có ${\vec u_{{d_1}}} = \left( {1; - 2; - 3} \right),{\vec u_{{d_2}}} = \left( {2; - 1;3} \right)$ $\Rightarrow \left[ {{{\vec u}_{{d_1}}},{{\vec u}_{{d_2}}}} \right] = \left( { - 9; - 9;3} \right).$
Chọn ${M_1}\left( {1;1;3} \right) \in {d_1},{M_2}\left( {2; - 1;0} \right) \in {d_2}.$
$$\begin{array}{l}
\Rightarrow \overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( {1; - 2; - 3} \right).\\
\Rightarrow \left[ {{{\vec u}_{{d_1}}},{{\vec u}_{{d_2}}}} \right] \cdot \overrightarrow {{M_1}{M_2}} = - 9 \cdot 1 - 9 \cdot \left( { - 2} \right) + 3 \cdot \left( { - 3} \right) = 0.
\end{array}$$
Suy ra $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,$ ${\vec u_{{d_1}}},{\vec u_{{d_2}}}$ đồng phẳng.
Mặt khác $\vec u_{{d_1}}$ không cùng phương với $\vec u_{{d_2}}$ vì toạ độ không tỷ lệ $\frac{1}{2} \ne \frac{{ - 2}}{{ - 1}}.$ Vậy $d_1$ cắt $d_2$.
Nhận xét. Cách 1 vẫn tỏ ra hiệu quả hơn vì ngắn gọn hơn và cho ra luôn toạ độ giao điểm.
Bài tập
Tác giả bài viết: Cùng Học Toán
Góp ý hoặc một bài toán của Quý học viên hoặc Quý Phụ Huynh