Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.
Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.
Phương trình đường vuông góc chung
Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau. Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau. Cách viết phương trình đường vuông góc chung.
Cách dựng đoạn vuông góc chung.
Bước 1. Dựng mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $d_1$ và song song với $d_2$.
Bước 2. Dựng mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa $d_1$ và vuông góc với $\left( P \right)$.
Bước 3. Tìm giao điểm $B = {d_2} \cap \left( Q \right).$ Đường vuông góc chung $\Delta$ đi qua $B$ và vuông góc với $\left( P \right)$.
Viết phương trình đường vuông góc chung trong không gian - Cách 1. Cũng chính là cách dựng. Trong không gian $Oxyz$ giả sử đường thẳng $d_1$, $d_2$ lần lượt có vector chỉ phương là ${{\vec u}_1},{{\vec u}_2}$.
Bước 1. Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $d_1$ và song song với $d_2$. Cặp vector chỉ phương của $\left( P \right)$ là ${{\vec u}_1},{{\vec u}_2}$. Suy ra $${\vec n_P} = \left[ {{{\vec u}_{{d_1}}},{{\vec u}_{{d_2}}}} \right].$$
Bước 2. Viết phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa $d_1$ và vuông góc với $\left( P \right)$. Cặp vector chỉ phương của $\left( Q \right)$ là ${{{\vec u}_{{d_1}}},{{\vec n}_P}}$. Suy ra $${\vec n_Q} = \left[ {{{\vec u}_{{d_1}}},{{\vec n}_P}} \right].$$
Bước 3. Tìm giao điểm $B = {d_2} \cap \left( Q \right).$ Viết phương trình đường vuông góc chung $\Delta$ đi qua $B$ và vuông góc với $\left( P \right)$.
Ví dụ 1. Viết phương trình đường vuông góc chung của $\left( {{d_1}} \right):\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 5 - 2t\\
z = 14 - 3t
\end{array} \right.$ và $\left( {{d_2}} \right):\left\{ \begin{array}{l}
x = 9 - 4\lambda \\
y = 3 + \lambda \\
z = - 1 + 5\lambda
\end{array} \right..$
Giải. Gọi mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $d_1$ và song song với $d_2$. Khi đó cặp vector chỉ phương của $\left( P \right)$ là ${{\vec u}_{{d_1}}} = \left( {1; - 2; - 3} \right),\;\;{{\vec u}_{{d_2}}} = \left( { - 4;1;5} \right)$. Suy ra ${\vec n_P} = \left[ {{{\vec u}_{{d_1}}},{{\vec u}_{{d_2}}}} \right] = \left( { - 7;7; - 7} \right) = - 7\left( {1; - 1;1} \right).$
Chọn $M\left( {0;5;14} \right) \in {d_1} \subset \left( P \right).$ Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là $$\left( P \right):1 \cdot \left( {x - 0} \right) - 1 \cdot \left( {y - 5} \right) + 1 \cdot \left( {z - 14} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y + z - 9 = 0.$$ Gọi $\left( Q \right)$ chứa $d_1$ và vuông góc với $\left( P \right)$. Cặp vector chỉ phương của $\left( Q \right)$ là ${{\vec u}_1} = \left( {1; - 2; - 3} \right),\;{{\vec n}_P} = \left( {1; - 1;1} \right)$. Suy ra ${\vec n_Q} = \left[ {{{\vec u}_{{d_1}}},{{\vec n}_P}} \right] = \left( { - 5; - 4;1} \right).$ Mặt khác $M\left( {0;5;14} \right) \in {d_1} \subset \left( Q \right).$ Phương trình của mặt phẳng $\left( Q \right)$ là $$\left( Q \right): - 5 \cdot \left( {x - 0} \right) - 4 \cdot \left( {y - 5} \right) + 1 \cdot \left( {z - 14} \right) = 0 \Leftrightarrow - 5x - 4y + z + 6 = 0.$$ Gọi $B = {d_2} \cap \left( Q \right)$. Từ phương trình của $d_2$ và $\left( Q \right)$ ta được $ - 5\left( {9 - 4\lambda } \right) - 4\left( {3 + \lambda } \right) - 1 + 5\lambda - 9 = 0 \Leftrightarrow \lambda = \frac{{52}}{{21}}$. Thay $\lambda = \frac{{52}}{{21}}$ vào phương trình $d_2$ ta được $x = - \frac{{19}}{21};y = \frac{{115}}{{21}};z = \frac{{239}}{{21}} \Rightarrow B\left( { - \frac{{19}}{21};\frac{{115}}{{21}};\frac{{239}}{{21}}} \right).$
Đường thẳng $\Delta$ và vuông góc với $\left( P \right)$ nên ${{\vec u}_\Delta } = {{\vec n}_P} = \left( {1; - 1;1} \right)$ , và đi qua $B$ nên có phương trình là $$\left\{ \begin{array}{l}
x = - \frac{{19}}{21} + t\\
y = \frac{{115}}{{21}} - t\\
z = \frac{{239}}{{21}} + t
\end{array} \right.$$
Viết phương trình đường vuông góc chung trong không gian - Cách 2. Dùng quang hệ vuông góc.
Bước 1. Viết phương trình đường thẳng $d_1$ và $d_2$ dưới dạng tham số. $$\left( {{d_1}} \right):\left\{ \begin{array}{l}
x = {x_1} + {a_1}t\\
y = {y_1} + {b_1}t\\
z = {z_1} + {c_1}t
\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {{d_2}} \right):\left\{ \begin{array}{l}
x = {x_2} + {a_2}\lambda \\
y = {y_2} + {b_2}\lambda \\
z = {z_2} + {c_2}\lambda
\end{array} \right.{\rm{ }}$$
Bước 2. Giả sử $A = {d_1} \cap \Delta ,{\rm{ }}B = {d_2} \cap \Delta .$ $$\begin{array}{l}
A \in {d_1} \Rightarrow A\left( {{x_1} + {a_1}t,{y_1} + {b_1}t,{z_1} + {c_1}t{\rm{ }}} \right),\\
B \in {d_2} \Rightarrow B\left( {{x_2} + {a_2}\lambda ,{y_2} + {b_2}\lambda ,{z_2} + {c_2}\lambda } \right).
\end{array}$$
Bước 3. Dùng quan hệ vuông góc để tìm $A$ và $B$
$$\left\{ \begin{array}{l}
AB \bot {d_1}\\
AB \bot {d_2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} \bot {{\vec u}_{{d_1}}}\\
\overrightarrow {AB} \bot {{\vec u}_{{d_2}}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} \cdot {{\vec u}_{{d_1}}} = 0\\
\overrightarrow {AB} \cdot {{\vec u}_{{d_2}}} = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t,A\\
\lambda ,B
\end{array} \right..$$
Ví dụ 2. Viết phương trình đường vuông góc chung của $\left( {{d_1}} \right):\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 5 - 2t\\
z = 14 - 3t
\end{array} \right.$ và $\left( {{d_2}} \right):\left\{ \begin{array}{l}
x = 9 - 4\lambda \\
y = 3 + \lambda \\
z = - 1 + 5\lambda
\end{array} \right..$
Giải. Gọi $\Delta$ là đường vuông góc chung của $d_1$ và $d_2$. Giả sử $A = {d_1} \cap \Delta ,{\rm{ }}B = {d_2} \cap \Delta .$
Ta có $A \in {d_1} \Rightarrow A\left( {t;5 - 2t;14 - 3t{\rm{ }}} \right),B \in {d_2} \Rightarrow B\left( {9 - 4\lambda ;3 + \lambda ; - 1 + 5\lambda } \right).$
Suy ra $\overrightarrow {AB} = \left( {9 - 4\lambda - t; - 2 + \lambda + 2t; - 15 + 5\lambda + 3t} \right)$.
Vì $\overrightarrow {AB} \bot {d_1},\overrightarrow {AB} \bot {d_1}$ nên ta có
Ta có $A \in {d_1} \Rightarrow A\left( {t;5 - 2t;14 - 3t{\rm{ }}} \right),B \in {d_2} \Rightarrow B\left( {9 - 4\lambda ;3 + \lambda ; - 1 + 5\lambda } \right).$
Suy ra $\overrightarrow {AB} = \left( {9 - 4\lambda - t; - 2 + \lambda + 2t; - 15 + 5\lambda + 3t} \right)$.
Vì $\overrightarrow {AB} \bot {d_1},\overrightarrow {AB} \bot {d_1}$ nên ta có
$$\left\{ \begin{gathered}
\overrightarrow {AB} \cdot {{\vec u}_{{d_1}}} = 0 \hfill \\
\overrightarrow {AB} \cdot {{\vec u}_{{d_2}}} = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
1\left( {9 - 4\lambda - t} \right) - 2\left( { - 2 + \lambda + 2t} \right) - 3\left( { - 15 + 5\lambda + 3t} \right) = 0 \hfill \\
- 4\left( {9 - 4\lambda - t} \right) + \left( { - 2 + \lambda + 2t} \right) + 5\left( { - 15 + 5\lambda + 3t} \right) = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
\lambda = \frac{{52}}{{21}} \hfill \\
t = \frac{{3}}{7} \hfill \\
\end{gathered} \right..$$
Lần lượt thay $t = \frac{{3}}{7},\lambda = \frac{{52}}{{21}}$ vào phương trình của $d_1$ và $d_2$ ta được $A\left( { \frac{{3}}{7};\frac{{29}}{7};\frac{{89}}{7}} \right)$ và $B\left( { - \frac{{19}}{{21}};\frac{{115}}{{21}};\frac{{239}}{{21}}} \right).$ Đường thẳng $\Delta$ qua $A$ và $B$ nên ${{\vec u}_\Delta } = \overrightarrow {AB} = \left( {-\frac{{4}}{{3}}; \frac{{4}}{{3}}; - \frac{4}{{3}}} \right)$ $= - \frac{4}{3}\left( {1; - 1;1} \right).$ Vì $\Delta$ qua $B$ nên có phương trình $$\left\{ \begin{array}{l}
x = - \frac{{19}}{21} + t\\
y = \frac{{115}}{{21}} - t\\
z = \frac{{239}}{{21}} + t
\end{array} \right.$$
\overrightarrow {AB} \cdot {{\vec u}_{{d_1}}} = 0 \hfill \\
\overrightarrow {AB} \cdot {{\vec u}_{{d_2}}} = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
1\left( {9 - 4\lambda - t} \right) - 2\left( { - 2 + \lambda + 2t} \right) - 3\left( { - 15 + 5\lambda + 3t} \right) = 0 \hfill \\
- 4\left( {9 - 4\lambda - t} \right) + \left( { - 2 + \lambda + 2t} \right) + 5\left( { - 15 + 5\lambda + 3t} \right) = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
\lambda = \frac{{52}}{{21}} \hfill \\
t = \frac{{3}}{7} \hfill \\
\end{gathered} \right..$$
Lần lượt thay $t = \frac{{3}}{7},\lambda = \frac{{52}}{{21}}$ vào phương trình của $d_1$ và $d_2$ ta được $A\left( { \frac{{3}}{7};\frac{{29}}{7};\frac{{89}}{7}} \right)$ và $B\left( { - \frac{{19}}{{21}};\frac{{115}}{{21}};\frac{{239}}{{21}}} \right).$ Đường thẳng $\Delta$ qua $A$ và $B$ nên ${{\vec u}_\Delta } = \overrightarrow {AB} = \left( {-\frac{{4}}{{3}}; \frac{{4}}{{3}}; - \frac{4}{{3}}} \right)$ $= - \frac{4}{3}\left( {1; - 1;1} \right).$ Vì $\Delta$ qua $B$ nên có phương trình $$\left\{ \begin{array}{l}
x = - \frac{{19}}{21} + t\\
y = \frac{{115}}{{21}} - t\\
z = \frac{{239}}{{21}} + t
\end{array} \right.$$
Bài tập
(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
Tác giả bài viết: Cùng Học Toán
Góp ý hoặc một bài toán của Quý học viên hoặc Quý Phụ Huynh