Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.

Toạ độ của vector theo điểm đầu và điểm cuối. Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)$. Khi đó toạ độ của vector $\overrightarrow {AB} $ là $$\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right)$$ Từ đây ta có 

Công thức tính độ dài của vector $\overrightarrow {AB} $ là $$\overrightarrow {AB}  = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} .$$

Ví dụ 1. Trong không gian  cho tam giác  với $Oxyz$ cho hai điểm $A\left( { - 1;2;3} \right),B\left( {5, - 3,4} \right)$. Khi đó ta có $$\eqalign{
  & \overrightarrow {AB}  = \left( {5 - \left( { - 1} \right); - 3 - 2;4 - 3} \right) = \left( {6; - 5;1} \right),  \cr 
  & AB = \sqrt {{6^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2} + {1^2}}  = \sqrt {62} . \cr} $$

Ví dụ 2. Trong không gian $Oxyz$ cho ba điểm $A\left( {1; - 2;3} \right),B\left( {2; - 2;5} \right),C\left( {3; - 1;0} \right)$. Tìm toạ độ điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành.
Giải. Giả sử $D(x_D,y_D,z_D)$. Ta có $$\overrightarrow {AB}  = \left( {1;0;2} \right),\overrightarrow {DC}  = \left( {3 - {x_D}; - 1 - {y_D};0 - {z_D}} \right)$$ $ABCD$ là hình bình hành khi $$\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}   1 = 3 - {x_D} \hfill \\   0 =  - 1 - {y_D} \hfill \\   2 = 0 - {z_D} \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}   {x_D} = 2 \hfill \\   {y_D} =  - 1 \hfill \\   {z_D} =  - 2 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Rightarrow D\left( {2; - 1; - 2} \right).$$