Góc giữa hai đường thẳng trong không gian. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng. Hai đường thẳng vuông góc trong không gian.
Góc giữa hai đường thẳng. Góc $\varphi$ giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$, ký hiệu $\left( {{d_1},{d_2}} \right)$, được định nghĩa như sau Hình 1Hình 2
Trong đó ${\vec u_1} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\;\;{\vec u_2} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)$ lần lượt là vector pháp tuyến của $d_1$ và $d_2$ và $\alpha$ là góc tạo bởi ${{\vec u}_1},{{\vec u}_2}$. Như vậy $\varphi $ và $\alpha $ hoặc bằng nhau như ở hình 1, hoặc bù nhau như ở hình 2.
Ta lưu ý rằng $0 \leqslant \varphi \leqslant {90^0}$, trong khi đó $0 \leqslant \alpha \leqslant {180^0}.$
Công thức tính góc hơp bởi hai đường thẳng. Góc $\varphi$ giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ được tính theo công thưc $$\cos \varphi = \left| {\cos \left( {{{\vec u}_1} \cdot {{\vec u}_2}} \right)} \right| = \frac{{\left| {{{\vec u}_1} \cdot {{\vec u}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_1}} \right| \cdot \left| {{{\vec u}_2}} \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \cdot \sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}.$$ trong đó ${{\vec u}_1}$ và ${{\vec u}_2}$ là các vector chỉ phương. Ví dụ. Tính góc hợp bởi hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right):\left\{ \begin{array}{l}
x = - 1 + 2t\\
y = 2 + 2t\\
z = - 2
\end{array} \right.$ và $\left( {{d_2}} \right):\left\{ \begin{array}{l}
x = - 1 + \sqrt 2 t\\
y = 2 + \sqrt 2 t\\
z = - 2 + 2t
\end{array} \right..$
