Xác suất của biến cố

Công thức xác suất cổ điển. Xác suất của biến cố $A$ được tính theo công thức

$ P\left( A \right)=$ số các biến cố sơ cấp thuận lợi cho $ A$/tổng số các biến cố sơ cấp.

Các tính chất cơ bản của xác suất. Từ công thức trên, ta có ba tính chất sau

$ \left( i \right)\text{ }0\le P\left( A \right)\le 1.$

Mặt khác, do không có biến cố sơ cấp nào thuận lợi cho $ \varnothing $ nên

$ \left( ii \right)\text{   }P\left( \varnothing  \right)=0.$

Mọi biến cố sơ cấp đều thuận lợi cho biến cố chắc chắn $ \Omega $ nên

$ \left( iii \right)\text{   }P\left( \Omega  \right)=1.$
 

Ví dụ 1. Thực hiện phép thử là tung một con xúc xác 6 mặt.
 

• $ A$: Xuất hiện mặt có số chấm chẵn;
• $ B $: Xuất hiện mặt có cố chấm $ \le 4;$
• $ C $: Xuất hiện mặt có số chấm $ \ge 1;$
• $ D $: Xuất hiện mặt có số chấm $ \ge 7.$

Giải. Như đã chỉ ra ở bài học Phép thử và biến cố thì các biến cố sơ cấp là xuất hiện mặt $1$, $2$,..., $6$ chấm mà ta lần lượt gọi là các biến cố $A_1$, $A_2$,..., $A_6$. Ta có $A = {A_2} \cup {A_4} \cup {A_6}$ nên đây là $3$ biến cố sơ cấp thuận lợi cho $A$. Suy ra $$P\left( A \right) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}.$$

Tương tự xác suất của các biến cố còn lại là $$P\left( B \right) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3};\;\;\;P\left( C \right) = \frac{6}{6} = 1 = P\left( \Omega  \right);\;\;\;P\left( D \right) = P\left( \emptyset  \right) = \frac{0}{6} = 0.$$
 

Ví dụ 2. Một hộp gồm có $10$ bi, trong đó có $6$ bi đỏ và $4$ bi trắng. Rút ngẫu nhiên từ hộp ra $3$ bi. Tính xác suất của biến cố $A: $ trong $3$ bi được rút ra có $2$ bi đỏ và 1 bi trắng.

Giải. Mỗi một cách rút $3$ bi trong $10$ bi là một biến cố sơ cấp. Trong đó, mỗi một cách rút sao cho được đúng $2$ bi đỏ và $1$ bi trắng số một biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố $A$. Do vậy số biến cố sơ cấp trong phép thử này là $C_{10}^3$, và theo bài toán lựa chọn đã học ở bài Chỉnh hợp và tổ hợp thì số các biến cố sơ cấp thuận lợi cho $A$ là $C_6^2 \cdot C_4^1.$ Do vậy xác suất của biến cố $A$ là $$P\left( A \right) = \frac{{C_6^2 \cdot C_4^1}}{{C_{10}^3}} = \frac{1}{2}.$$
 

Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)