Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Điều kiện cần và đủ để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Định nghĩa. Đường thẳng $d$ được gọi là vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ nếu $d$ vuông góc với moitj đường thẳng nằm trong $\left( \alpha \right)$, ký hiệu $d \bot \left( \alpha \right).$
Định lý 1. Nếu đường thẳng $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong $\left( \alpha \right)$ thì $d$ vuông góc với $\left( \alpha \right)$. $$\left. \begin{array}{l}
d \bot a\\
d \bot b\\
a\hbox{ cắt } b
\end{array} \right\} \Rightarrow d \bot \left( \alpha \right).$$
Ví dụ 1. Cho hình lập phương $ABCD.EFGH.$ Chứng minh $EA \bot \left( {ABCD} \right).$
Giải. Ta có $AE \bot AB$ và $AE \bot AD$. Thêm nữa là $AB$ và $AD$ là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt $\left( {ABCD} \right)$.
Theo định lý trên ta có $EA \bot \left( {ABCD} \right).$
Bình luận 1. Đối với ví du nếu như kết hợp hai sự kiện $AE \bot AB$ và $AE \bot CD$ thì ta chưa thể kết luận $EA \bot \left( {ABCD} \right)$ bởi vì $AB$ và $CD$ không cắt nhau.
Ví dụ 2. Ta xét lại hình lập phương ở ví dụ 1. Ta có
$BDHF$ là hình chữ nhật nên $BD \bot HD$.
Theo ví dụ 1 thì $EA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $AE \bot BD$.
Như vậy $BD$ vuông với hai đường nằm trong mặt phẳng $\left( {AEDH} \right)$ là $AE$ và $DH$ nhưng rõ ràng $BD$ không thể vuông góc với $\left( {AEDH} \right)$. Nếu như $BD \bot \left( {AEDH} \right)$ thì theo định nghĩa, $BD$ vuông góc với đường thẳng $AD$, đây là điều vô lý. Nguyên nhân là do $AE$ và $DH$ là hai đường thẳng không cắt nhau trong $\left( {AEDH} \right)$.
Bình luận 2. Ví dụ 2 là một minh hoạ chứng tỏ rằng điều kiện cắt nhau ở định lý 1 là không thể bỏ qua.
Định lý 2. Nếu hai đường thẳng $a$ và $b$ song song nhau và $a$ vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ thì $b$ cũng vuông góc với $\left( \alpha \right)$.
$\left. \begin{array}{l}
a\parallel b\\
a \bot \left( \alpha \right)
\end{array} \right\} \Rightarrow b \bot \left( \alpha \right).$
Ví dụ 2. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ và có cạnh $SA \bot \left( {ABC} \right).$ Gọi $D$ là điểm đối xứng của điểm $B$ qua trung điểm $M$ của cạnh $AC$ Chứng minh $CD \bot \left( {SAC} \right).$
Giải. Ta có
$\left. \begin{array}{l}
AB \bot SA\hbox{ vì }SA \bot \left( {ABC} \right)\\
AB \bot AC \hbox{ vì } \Delta ABC \hbox{ vuông tại } A
\end{array} \right\}\mathop \Rightarrow \limits^{DL1} AB \bot \left( {SAC.} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)\ $
Vì $M$ là trung điểm của $AC$ và $BD$ nên tứ giác $ABCD$ là hình bình hành, suy ra $ CD \parallel AB.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)\ $
Từ $\left( 1 \right)\& \left( 2 \right)$, kết hợp với định lý 2, suy ra $CD \bot \left( {SAC} \right).$
Bài tập
(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
