$\left( c \right)$ Cực trị: Ta có $y' = 4a{x^3} + 2bx = 2x\left( {\underbrace {2a{x^2} + b}_{g\left( x \right)}} \right).$ Suy ra $$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
2a{x^2} + b = 0
\end{array} \right.$$ Vì $ a \ne 0 $ nên $g\left( x \right)$ là một tam thức bậc hai. Số cực trị của hàm số sẽ phụ thuộc vào số nghiệm của $g\left( x \right)$. Có các trường hợp sau
$\left( c_1 \right)$ $g\left( x \right)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1 \ne x_2$ và khác $0$, khi đó $y'$ có $ 3$ nghiệm phân biệt và đổi dấu khi qua ba nghiệm này. Do đó hàm số có ba cực trị.
$\left( c_2 \right)$ $g\left( x \right)$ có một nghiệm kiép $x = 0$. Khi đó và $y'$ nhận $x = 0$ làm nghiệm bội ba, và do đó $y'$ đổi dấu khi đi qua nghiệm này. Vậy hàm số có một cực trị là $x = 0$.
$\left( c_3 \right)$ $g\left( x \right)$ vô nghiệm. Khi đó $x = 0$ là nghiệm đơn duy nhất của $y'$, và do đó khi đi qua nghiệm này $y'$ đổi dấu khi. Vậy hàm số có một cực trị là $x = 0$.
$\left( d \right)$ Tiệm cận: Hàm trùng phương không có tiệp cận.
$\left( e \right)$Trục đối xứng: Đồ thị nhận $Oy$ làm trục đối xứng.
$\left( f \right)$ Tính đơn điệu: Tuỳ vào dấu của hệ số $a$ và nghiệm của $y'$ mà tính đơn điệu và đồ thị của hàm trùng phương được chia ra $4$ trường hợp như sau
$a>0$
$a<0$
$y'$ có
ba nghiệm phân biệt
$x_1<0 $, $x_2 =0$ và $x_3>0$
$y'$ một nghiệm
$x_0 = 0$
Ví dụ 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sau $y = {x^4} - 2{x^2} + 2$.
