Hàm số đơn điệu

Hàm số đơn điệu.

Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên khoảng $\left( {a;b} \right)$. $f\left( x \right)$ được gọi là đồng biến trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ nếu ${x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right),$ với mọi ${x_1},{x_2} \in \left( {a;b} \right);$ $f\left( x \right)$ được gọi là nghịch biến trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ nếu ${x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right),$ với mọi ${x_1},{x_2} \in \left( {a;b} \right);$

 

 

Một cách trực quan, theo hướng từ trái sang phải: đồ thị hàm đồng biến đi từ dưới lên trên, đồ thị hàm ngịch biến đi từ trên xuống dưới.

Ví dụ 1. Xét hàm số $f\left( x \right) = 2x + 1$ xác định trên $\mathbb{R}$. Với mọi ${x_1},{x_2} \in \mathbb{R}$, giả sử $${x_1} < {x_2} \Rightarrow 2{x_1} < 2{x_2} \Rightarrow 2{x_1} + 1 < 2{x_2} + 1 \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right).$$

Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định và có đạo hàm trên khoảng $\left( {a;b} \right)$. $f\left( x \right)$ đồng biến trên trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ nếu $f'\left( x \right) \geqslant 0,\forall x \in \left( {a;b} \right);$ $f\left( x \right)$ nghịch biến trên trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ nếu $f'\left( x \right) \leqslant 0,\forall x \in \left( {a;b} \right).$ Dấu $=$ ở các dấu bất đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc khoảng $\left( {a;b} \right)$.

Ví dụ 2. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 1.$ trên tập xác đinh. Ví dụ 3. Xét tính đơn điệu của hàm số $ f\left( x \right) = {x^3} - {x^2} - x +2 $ trên tập xác định.
Giải. Tập xác định của hàm số $D = \mathbb{R}$. Ta có $f'\left( x \right) = 3{x^2} - 2x - 1$. $$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}   x = 1 \hfill \\   x =  - 1/3 \hfill \\ \end{gathered}  \right..$$ Bảng xét dấu của $f'\left( x \right)$:
 

$x$	$-\infty$                  $-1/3$                  $1$                   $-\infty$
$f'\left( x \right)$	$+$              $0$         $-$        $0$           $+$

Từ bảng xét dấu của $f'\left( x \right)$ ta suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$; hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \frac{1}{3};1} \right)$.


Ví dụ 4. Xét tính đơn điệu của hàm số $f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}$ trên tập xác định.
Giải. Điều kiện xác định $x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1$. Suy ra tập xác định $D = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$. Ta có $$f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^\prime }\left( {x - 1} \right) - \left( {2x + 1} \right){{\left( {x - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} =  - \frac{3}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1.$$ Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng $ \left( { - \infty ;1} \right) $ và $\left( {1; + \infty } \right)$.

Ví dụ 5. Tìm $m$ để hàm số $ f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} + \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} - 1} \right)x + 3$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$