Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.

https://cunghoctoan.com:443


Phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm

Phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm.
  Phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm.  
tieptuyentaimotdiem
Hình 1. Tiếp tuyến đi qua $A$
Để viết phương tình tiếp tuyến $\Delta$ của đồ thị $\left( C \right)$ đi qua điểm $A\left( {{x_A};{y_A}} \right) \notin \left( C \right)$ ta có thể làm theo các bước sau 
 
Bước 1. Gọi $k$ là hệ số góc của $\Delta$. Khi đó $\Delta$ có phương trình dạng là $\left( \Delta \right):\;\;\;y = k\left( {x - {x_A}} \right) + {y_A}$.

Bước 2. Giải hệ $\left\{ \begin{array}{l} f\left( x \right) = k\left( {x - {x_A}} \right) + {y_A}\\ f'\left( x \right) = k \end{array} \right..$ Nghiệm của hệ là toạ độ tiếp điểm.

Bước 3. Thay $k$ tìm được ở Bước 2 vào dạng phương trình $\Delta$ có được ở Bước 1.


Ví dụ 1. $$f\left( x \right) = 2x + 1$$ là hảm 

Để học tốt dạng toán này, học sinh cần xem lại chuyên đề  điều kiện tiếp xúc.
 
Ví dụ 1. Viết phương tình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1$ đi qua điểm $A\left( {1; - 1} \right).$
 
 

 
Giải. Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A\left( {1; - 1} \right)$ và có hệ số góc là $k$ có dạng $$\left( \Delta \right):\;\;\;y = k\left( {x - 1} \right) - 1.$$ 
$\Delta$ trở thành tiếp tuyến, tức là tiếp xúc với $\left( C \right)$ khi hệ sau có nghiệm $$\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} - 3x + 1 = k\left( {x - 1} \right) - 1\;\;\;\left( 1 \right)\\
3{x^2} - 3 = k\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)
\end{array} \right.$$ Thay $\left( 2 \right)$ vào $\left( 1 \right)$ ta được
$${x^3} - 3x + 1 = \left( {3{x^2} - 3} \right)\left( {x - 1} \right) - 1 \Leftrightarrow  - 2{x^3} + 3{x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - \frac{1}{2}\\
x = 1
\end{array} \right.$$ Với $x = 1 \Rightarrow y =  - 1,k = 0  $. Suy ra tiếp tuyến $$\left( {{\Delta_1}} \right):\;\;\;y =  - 1$$ và tiếp điểm ${M_1}\left( {1; - 1} \right)$.

Với $x =  - {1 \over 2} \Rightarrow y = {{19} \over 8},k =  - {9 \over 4}  $. Suy ra tiếp tuyến $$\left( {{\Delta_2}} \right):\;\;\;y =  - {9 \over 4}\left( {x + {1 \over 2}} \right) + {{19} \over 8} \Leftrightarrow y =  - {9 \over 4}x + {5 \over 4}$$ và tiếp điểm ${M_2}\left( { - {1 \over 2};{{19} \over 8}} \right)$.



 
Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ $\left( C \right) $ $f\left( x \right) = {x^4} - 4{x^2} + 1$ đi qua điểm $A\left( {2;1} \right).$
 

 
Giải. Ta có $f'\left( x \right) = 4{x^3} - 8x.$ Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A\left( {2;1} \right)$ và có hệ số góc $k$ có phương trình dạng $$\left( \Delta  \right):y = k\left( {x - 2} \right) + 1.$$ Đường thẳng $\Delta$ tiếp xúc với $\left( C \right)$ khi hệ $$\left\{ \begin{array}{l} {x^4} - 4{x^2} + 1 = k\left( {x - 2} \right) + 1{\rm{          }}\left( 1 \right)\\ 4{x^3} - 8x = k{\rm{                                }}\left( 2 \right) \end{array} \right.$$ có ít nhất một nghiệm. Thay $k=4{x^3} - 8x$ ở $\left( 2 \right)$ vào $\left( 1 \right)$ ta được $${x^4} - 4{x^2} + 1 = \left( {4{x^3} - 8x} \right)\left( {x - 2} \right) + 1 \Leftrightarrow x\left( {x - 2} \right)\left( {3{x^2} - 2x - 8} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = 0\\ x =  - \frac{4}{3} \end{array} \right..$$ Với $x = 2 \Rightarrow y = 1$, ta được tiếp điểm ${M_1}\left( {2;1} \right)$, hệ số góc ${k_1} = 16$ và tiếp tuyến $\left( {{\Delta _1}} \right):y = 16x - 31.$

Với $x = 0 \Rightarrow y = 1$, ta được tiếp điểm ${M_2}\left( {0;1} \right)$, hệ số góc ${k_2} = 0$ và tiếp tuyến $\left( {{\Delta _2}} \right):y = 1.$

Với $x = - \frac{4}{3} \Rightarrow y = - \frac{239}{81}$, ta được tiếp điểm ${M_3}\left( {- \frac{4}{3};- \frac{239}{81}} \right)$, hệ số góc ${k_3} = \frac{32}{27}$ và tiếp tuyến $\left( {{\Delta _3}} \right):y = \frac{{32}}{{27}}x - \frac{{37}}{{27}}.$


Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ $\left( C \right) $ $f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{x - 2}}$ đi qua điểm $A\left( {5;-1} \right).$
 
 
Giải. Ta có $f'\left( x \right) = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A\left( {5;-1} \right)$ và có hệ số góc $k$ có phương trình dạng $$\left( \Delta  \right):y = k\left( {x - 5} \right) - 1.$$ Đường thẳng $\Delta$ tiếp xúc với $\left( C \right)$ khi hệ $$\left\{ \begin{array}{l} \frac{{2x - 1}}{{x - 2}} = k\left( {x - 5} \right) - 1{\rm{          }}\left( 1 \right)\\ \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = k{\rm{                        }}\left( 2 \right) \end{array} \right.$$ có ít nhất một nghiệm. Thay $k= \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} $ ở $\left( 2 \right)$ vào $\left( 1 \right)$ ta được $$\frac{{2x - 1}}{{x - 2}} = \frac{{ - 3\left( {x - 5} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x =  - 1\\ x = 3 \end{array} \right..$$ Với $x = -1 \Rightarrow y = 1$, ta được tiếp điểm ${M_1}\left( {-1;1} \right)$, hệ số góc ${k_1} =- \frac{1}{3}$ và tiếp tuyến $\left( {{\Delta _1}} \right): y =  - \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}.$

Với $x = 3 \Rightarrow y = 5$, ta được tiếp điểm ${M_2}\left( {3;5} \right)$, hệ số góc ${k_2} = -3$ và tiếp tuyến $\left( {{\Delta _2}} \right):y = -3x+14.$
 
Ví dụ 4. Tìm điểm $A$ thuộc $Ox$ để từ đó kẻ được $3$ tiếp tuyến đến đồ thị hàm số $\left( C \right):y = {x^3} + 3{x^2}.$
 
 
Minh hoạ khi $a=\frac{1}{2}$
Giải. Điểm $A$ thuộc $Ox$ nên toạ độ có dạng $A\left( {a;0} \right)$. Giả sử tiếp tuyến $T$ kẻ từ $A$ có hệ số góc $k$, suy ra $$\left( T \right):\;\;\;y = k\left( {x - a} \right).$$ Khi đó $T$ tiếp xúc với $\left(  *  \right)\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} + 3{x^2} = k\left( {x - a} \right){\rm{          }}\left( 1 \right)\\
3{x^2} + 6x = k{\rm{                                }}\left( 2 \right)
\end{array} \right.$
Thay $\left( 2 \right)$ vào $\left( 1 \right)$ ta được $${x^3} + 3{x^2} = \left( {3{x^2} + 6x} \right)\left( {x - a} \right) \Leftrightarrow x\left[ {\left( {{x^2} + 3x} \right) - \left( {3x + 6} \right)\left( {x - a} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
  - 2{x^2} + 3\left( {a - 1} \right)x + 6a = 0\;\;\;\;\;\;\left( 3 \right)
\end{array} \right.$$ Từ $A$ kẻ được $3$ tiếp tuyến đến đồ thị $ \Leftrightarrow $ HPT $\left(  *  \right)$ có $3$ nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow $ PT $\left(  3  \right)$ có hai nghiệm phân biệt khác $0$. 
$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\Delta _g} > 0\\
g\left( 0 \right) \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left[ {3\left( {a - 1} \right)} \right]^2} - 4\left( { - 2} \right)6a > 0\\
6a \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
a <  - 3\\
a >  - \frac{1}{3}
\end{array} \right.\\
a \ne 0
\end{array} \right.$$ Vậy những điểm $A\left( {a;0} \right)$, với $a <  - 3$ hoặc $a >  - \frac{1}{3}$, $a \ne 0$ sẽ kẻ đươc $3$ tiếp tuyến đến đồ thị hàm số.

Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
 

 

Tác giả bài viết: TT. Cùng Học Toán