Viết phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng cho trước.
Những mệnh đều sau đây sẽ được dùng.
$(i)$ Đường thẳng $\left( d \right):y = kx + b$ có hệ số góc là $k$.
$(ii)$ Hệ số góc của tiếp tuyến $\Delta$ của hàm số $y=f\left( x \right)$ tại điểm $x_0$ là $f'\left( {{x_0}} \right)$.
$(iii)$ Hai đường thẳng song song nhau khi có cùng hệ số góc.
$(iv)$ Phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của hàm số $y=f\left( x \right)$ tại điểm $M_0(x_0;y_0)$ là$$y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}.\;\;$$
Bài toán. Viết phương trình tiếp tuyến $(\Delta)$ của đồ thị $\left( C \right):y = f\left( x \right)$ song song với đường thẳng $\left( d \right):y = kx + b$.
Giải. Gọi $M_0(x_0;y_0)$ là tiếp điểm. Từ $(i)$ và $(ii)$ ta có hệ số góc của $\Delta$ và $d$ lần lượt là $f'\left( {{x_0}} \right)$ và $k$.
Vì $\Delta \parallel d$ nên theo $(iii)$ ta có $f'\left(
{{x_0}} \right) = k$. Từ đây ta có $x_0$ là nghiệm của phương trình $f'\left( {{x}} \right) = k$.
Từ đây ta có các bước để viết phương tình tiếp tuyến của đồ thị $\left( C \right):y = f\left( x \right)$ song song với đường thẳng $\left( d \right):y = kx + b$ như sau:
Bước 1. Giải phương trình $f'\left( {{x}} \right) = k$, nghiệm $x_0$ của phương trình là hoành độ của tiếp điểm.
Bước 2. Tính ${y_0} = f\left( {{x_0}} \right)$ để được tiếp điểm $M_0(x_0;y_0)$.
Bước 3. Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M_0(x_0;y_0)$ theo mệnh đề $(iv)$.
Ví dụ 1. Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của đồ thị hàm số $(C): y = {x^2} - 2x - 1$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $\left( d \right):y = 2x - 1$.
Giải. Bước 1. Ta có $f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 1 \Rightarrow f'\left( x \right) = 2x - 2.$ Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình $$f'\left( x \right) = 2 \Leftrightarrow 2x - 2 = 2 \Leftrightarrow x = 2.$$
Bước 2. Thay $x_0=2$ vào phương trình của $(C)$ ta được $y_0=-1$. Suy ra tiếp điểm là ${M_0}\left( {2; - 1} \right).$
Bước 3. Ta có $f'\left( {{x_0}} \right) = 2$. Phương trình tiếp tuyến tại ${M_0}\left( {2; - 1} \right)$ là
$$y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0} \Leftrightarrow y = 2\left( {x - 2} \right) - 1 \Leftrightarrow y = 2x - 5.$$
Ví dụ 2.Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của đồ thị hàm số $\left( C \right): y = {x^3} + 3x - 1$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $\left( d \right):y = 6x - 1$.
Giải. Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình
$$f'\left( x \right) = 6 \Leftrightarrow 3{x^2} + 3 = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_1} = 1 \Rightarrow {y_1} = f\left( 1 \right) = 3\\
{x_2} = - 1 \Rightarrow {y_2} = f\left( 1 \right) = - 5 \end{array} \right.$$
Vậy có hai tiếp điểm là ${M_1}\left( {1;3} \right),{M_2}\left( { - 1; - 5} \right)$.
Phương trình tiếp tuyến tại ${M_1}\left( {1;3} \right)$ là $$\left( {{\Delta_1}} \right):\;\;\;\;y = 6\left( {x - {x_1}} \right) + {y_1} \Leftrightarrow y = 6\left( {x - 1} \right) + 3 \Leftrightarrow y = 6x - 3.$$
Phương trình tiếp tuyến tại ${M_2}\left( { - 1; - 5} \right)$ là $$\left( {{\Delta_2}} \right):\;\;\;\;y = 6\left( {x - {x_2}} \right) + {y_2} \Leftrightarrow y = 6\left( {x + 1} \right) - 5 \Leftrightarrow y = 6x + 1.$$
