Tích phân hàm vô tỷ
- Thứ hai - 08/02/2016 22:29
- In ra
- Đóng cửa sổ này
Tích phân hàm vô tỷ. Tích phân có chứa căn thức.
Tích phân hàm vô tỷ. Đôi với tích phân có chứa căn thức, ta thường dùng phương pháp đổi biến, nhân cho lượng liên hợp,...
Ví dụ 1. Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {{x^3}\sqrt {1 - {x^2}} dx} .$
Ví dụ 1. Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {{x^3}\sqrt {1 - {x^2}} dx} .$
Giải. Đặt $t = \sqrt {1 - {x^2}} \Rightarrow {t^2} = 1 - {x^2} \Rightarrow 2tdt = - 2xdx \Rightarrow xdx = - tdt.$
Đổi cận
Suy ra $$I = \int\limits_0^1 {{x^2}\sqrt {1 - {x^2}} xdx} = \int\limits_1^0 {\left( {1 - {t^2}} \right)t\left( { - tdt} \right)} = \,\int\limits_0^1 {\left( {{t^2} - {t^4}} \right)dt} = \left( {\left. {\frac{{{t^3}}}{3} - \frac{{{t^5}}}{5}} \right|} \right)_0^1 = \frac{2}{{15}}.$$
Ví dụ 2. Tính tích phân $I = \int\limits_1^3 {\frac{1}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {x - 1} }}dx} .$
Suy ra $$I = \int\limits_0^1 {{x^2}\sqrt {1 - {x^2}} xdx} = \int\limits_1^0 {\left( {1 - {t^2}} \right)t\left( { - tdt} \right)} = \,\int\limits_0^1 {\left( {{t^2} - {t^4}} \right)dt} = \left( {\left. {\frac{{{t^3}}}{3} - \frac{{{t^5}}}{5}} \right|} \right)_0^1 = \frac{2}{{15}}.$$
Giải.Ta có $$\frac{1}{{\sqrt {x + 1} + \sqrt {x - 1} }} = \frac{{\sqrt {x + 1} - \sqrt {x - 1} }}{{\left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt {x - 1} } \right)\left( {\sqrt {x + 1} - \sqrt {x - 1} } \right)}} = \frac{{\sqrt {x + 1} - \sqrt {x - 1} }}{2}$$
Suy ra $$I = \frac{1}{2}\int\limits_1^3 {\left( {\sqrt {x + 1} - \sqrt {x - 1} } \right)dx} = \frac{1}{3}\left[ {\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^3}} - \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^3}} } \right]_1^3 = \frac{{8 - 4\sqrt 2 }}{3}.$$
Suy ra $$I = \frac{1}{2}\int\limits_1^3 {\left( {\sqrt {x + 1} - \sqrt {x - 1} } \right)dx} = \frac{1}{3}\left[ {\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^3}} - \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^3}} } \right]_1^3 = \frac{{8 - 4\sqrt 2 }}{3}.$$