Bất đẳng thức trung bình QM⩾AM⩾GM⩾HM cho hai số
- Chủ nhật - 07/02/2016 00:01
- In ra
- Đóng cửa sổ này
Bất đẳng thức trung bình cộng. Bất đẳng thức trung bình nhân. Bất đẳng thức cô si.
Bất đẳng thức trung bình. Cho hai số thực dương $a,b$. Đặt $$QM = \sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}} ,\;\;\;\;\;AM = \frac{{a + b}}{2},\;\;\;\;\;GM = \sqrt {ab} ,\;\;\;\;\;HM = \frac{2}{{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}}.$$ Khi đó ta có dãy các bất đẳng thức (BĐT) $QM \geqslant AM \geqslant GM \geqslant HM$.$^{\left[ 1 \right]}$
Dấu $=$ ở tất cả các BĐT trên xảy ra khi $a=b$.
(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
Dấu $=$ ở tất cả các BĐT trên xảy ra khi $a=b$.
Chứng minh. Ta có
$QM \geqslant AM \Leftrightarrow \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \geqslant {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \geqslant \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2}}}{4} \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} \geqslant 0.\;\;\;\square $
$AM \geqslant GM \Leftrightarrow a + b \geqslant 2\sqrt {ab} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \geqslant 0.\;\;\;\square $
$GM \geqslant HM \Leftrightarrow \sqrt {ab} \geqslant \frac{{2ab}}{{a + b}} \Leftrightarrow 1 \geqslant \frac{{2\sqrt {ab} }}{{a + b}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{AM \geqslant GM} a + b \geqslant 2\sqrt {ab} \;\;\square $
$QM \geqslant AM \Leftrightarrow \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \geqslant {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \geqslant \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2}}}{4} \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} \geqslant 0.\;\;\;\square $
$AM \geqslant GM \Leftrightarrow a + b \geqslant 2\sqrt {ab} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \geqslant 0.\;\;\;\square $
$GM \geqslant HM \Leftrightarrow \sqrt {ab} \geqslant \frac{{2ab}}{{a + b}} \Leftrightarrow 1 \geqslant \frac{{2\sqrt {ab} }}{{a + b}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{AM \geqslant GM} a + b \geqslant 2\sqrt {ab} \;\;\square $
Chú ý. $AM \geqslant GM$ là BĐT Cô-si quen thuộc, hay còn gọi là BĐT trung bình cộng $ \geqslant $ trung bình nhân.
Ví dụ 1. Chứng minh BĐT $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geqslant 2,\;\;\;\forall a,b > 0.$
Ví dụ 1. Chứng minh BĐT $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geqslant 2,\;\;\;\forall a,b > 0.$
Giải. Áp dụng bất đẳng thức $AM \geqslant GM$ cho hai số dương $\frac{a}{b}$ và $\frac{b}{a}$ ta có $$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geqslant 2\sqrt {\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}} = 2\;\;\;\;\;\;\square $$ Dấu $=$ xảy ra khi $\frac{a}{b} = \frac{b}{a} \Leftrightarrow a = b.$
Ví dụ 2. Chứng minh BĐT $\frac{{a + b}}{c} + \frac{{b + c}}{a} + \frac{{c + a}}{b} \geqslant 6,$ với mọi $a,b,c > 0.$
Giải. Ta có $$VT = \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{b} = \mathop {\left( {\frac{a}{b} + \frac{b}{a}} \right)}\limits_{} + \left( {\frac{b}{c} + \frac{c}{b}} \right) + \left( {\frac{c}{a} + \frac{a}{c}} \right)\mathop \geqslant \limits^{AM \geqslant GM} 2 + 2 + 2 = VP.$$ Dấu $=$ xảy ra khi $\frac{a}{b} = \frac{b}{a};\;\;\frac{b}{c} = \frac{c}{b};\;\;\frac{c}{a} = \frac{a}{c} \Leftrightarrow a = b = c.$
Ví dụ 3. Chứng minh BĐT $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geqslant \frac{4}{{a + b}}$, với mọi $a,b > 0.$
Giải. Do $AM \geqslant HM \Leftrightarrow \frac{{a + b}}{2} \geqslant \frac{2}{{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}} \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geqslant \frac{4}{{a + b}}.\;\;\;\;\;\;\square $.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b$
Ví dụ 4. ${a^3} + {b^3} \geqslant ab\left( {a + b} \right)$, với mọi $a,b > 0.$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b$
Giải. Ta có $${a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} + {b^2} - ab} \right)\mathop \geqslant \limits^{AM \geqslant GM} \left( {a + b} \right)\left( {2ab - ab} \right) = ab\left( {a + b} \right)\;\;\;\;\;\;\;\square $$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b$.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b$.
Ví dụ 5. Chứng minh BĐT ${a^2} + ab + {b^2} \geqslant 0,$ với mọi $a,b > 0.$
Giải. ${a^2} + ab + {b^2} = {a^2} + 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + \frac{{{b^2}}}{4} + \frac{{3{b^2}}}{4} = {\left( {a + \frac{b}{2}} \right)^2} + \frac{{3{b^2}}}{4} \geqslant 0.\;\;\;\;\;\;\square $
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{ \begin{gathered}
a + \frac{b}{2} = 0 \hfill \\
b = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow a = b = 0.$
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{ \begin{gathered}
a + \frac{b}{2} = 0 \hfill \\
b = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow a = b = 0.$
Ví dụ 6. Chứng minh BĐT ${a^4} + {b^4} \geqslant {a^3}b + a{b^3},$ với mọi $a,b > 0.$
Giải. Ta có ${a^4} - {a^3}b + {b^4} - a{b^3} = {a^3}\left( {a - b} \right) + {b^3}\left( {b - a} \right) = \left( {a - b} \right)\left( {{a^3} - {b^3}} \right) = {\left( {a - b} \right)^2}\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right).$ Theo ví dụ 5 thì ${a^2} + ab + {b^2} \geqslant 0$. Từ đây suy ra biểu thức trên luôn $\geqslant 0$. Nghĩa là $${a^4} - {a^3}b + {b^4} - a{b^3} \geqslant 0 \Leftrightarrow {a^4} + {b^4} \geqslant {a^3}b + {a^3}b.\;\;\;\;\;\;\square $$ Đẳng thức xảy ra khi $a=b$.
$^{\left[ 1 \right]}$ $QM:quadratic{\text{ }}mean,AM:arithmetic{\text{ }}mean,GM:geometric{\text{ }}mean,HM:{\text{ }}harmonic{\text{ }}mean.$
Bài tập
(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)