Hàm số mũ
- Thứ tư - 10/02/2016 16:06
- In ra
- Đóng cửa sổ này
Hàm số mũ. Đồ thị của hàm số mũ. Khảo sát sự biến thiên của hàm số mũ.
Định nghĩa. Hàm số mũ có dạng $f\left( x \right) = {a^x}$, trong đó $0 < a \ne 1$. Hàm số mũ xác định với mọi $x \in \mathbb{R}.$
Ví dụ 1. $f\left( x \right) = {2^x},g\left( x \right) = {3^x},h\left( x \right) = {5^x}.$
Khảo sát sự biến thiên của hàm số mũ. Ta xét hai trường hợp.
Ví dụ 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $f\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}$
Ví dụ 1. $f\left( x \right) = {2^x},g\left( x \right) = {3^x},h\left( x \right) = {5^x}.$
Khảo sát sự biến thiên của hàm số mũ. Ta xét hai trường hợp.
Trường hợp 1. $a>1$
$ \bullet $ Tập xác định $D = \mathbb{R}.$
$ \bullet $ Sự biến thiên: Với mọi ${x_1} < {x_2}$ và cơ số $a>1$ nên ${a^{{x_1}}} < {a^{{x_2}}}$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}.$
$ \bullet $ Giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {a^x} = + \infty $.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {a^x} = 0 \Rightarrow Ox$ là tiệm cận ngang.
$ \bullet $ Hàm số không có cực trị
$ \bullet $ Sự biến thiên: Với mọi ${x_1} < {x_2}$ và cơ số $a>1$ nên ${a^{{x_1}}} < {a^{{x_2}}}$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}.$
$ \bullet $ Giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {a^x} = + \infty $.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {a^x} = 0 \Rightarrow Ox$ là tiệm cận ngang.
$ \bullet $ Hàm số không có cực trị
$ \bullet $ Bảng biến thiên | $ \bullet $ Đồ thị |
|
Trường hợp 2. $0<a<1$
$ \bullet $ Tập xác định $D = \mathbb{R}.$
$ \bullet $ Sự biến thiên: Với mọi ${x_1} < {x_2}$ và cơ số $0 < a < 1$ nên ${a^{{x_1}}} > {a^{{x_2}}}$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}.$
$ \bullet $ Giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {a^x} = + \infty $.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {a^x} = 0 \Rightarrow Ox$ là tiệm cận ngang.
$ \bullet $ Hàm số không có cực trị.
$ \bullet $ Sự biến thiên: Với mọi ${x_1} < {x_2}$ và cơ số $0 < a < 1$ nên ${a^{{x_1}}} > {a^{{x_2}}}$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}.$
$ \bullet $ Giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {a^x} = + \infty $.
$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {a^x} = 0 \Rightarrow Ox$ là tiệm cận ngang.
$ \bullet $ Hàm số không có cực trị.
$ \bullet $ Bảng biến thiên | $ \bullet $ Đồ thị |
|
|
Ví dụ 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $f\left( x \right) = {2^x}.$
$ \bullet $ Tập xác định $D = \mathbb{R}.$
$ \bullet $ Sự biến thiên: Cơ số $a=2>1$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}.$
$ \bullet $ Hàm số không có cực trị
$ \bullet $ Sự biến thiên: Cơ số $a=2>1$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}.$
$ \bullet $ Hàm số không có cực trị
$ \bullet $ Bảng biến thiên | $ \bullet $ Đồ thị |
|
|
Ví dụ 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $f\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}$
$ \bullet $ Tập xác định $D = \mathbb{R}.$
$ \bullet $ Sự biến thiên: Cơ số $a = \frac{1}{3} < 1$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}.$
$ \bullet $ Hàm số không có cực trị
$ \bullet $ Sự biến thiên: Cơ số $a = \frac{1}{3} < 1$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}.$
$ \bullet $ Hàm số không có cực trị
$ \bullet $ Bảng biến thiên | $ \bullet $ Đồ thị |
|
|
Bài tập