Phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm
- Thứ bảy - 13/02/2016 14:54
- In ra
- Đóng cửa sổ này
Phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm.
Phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm.
Để viết phương tình tiếp tuyến $\Delta$ của đồ thị $\left( C \right)$ đi qua điểm $A\left( {{x_A};{y_A}} \right) \notin \left( C \right)$ ta có thể làm theo các bước sau
Ví dụ 1. $$f\left( x \right) = 2x + 1$$ là hảm
Để học tốt dạng toán này, học sinh cần xem lại chuyên đề điều kiện tiếp xúc.
Ví dụ 1. Viết phương tình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1$ đi qua điểm $A\left( {1; - 1} \right).$
Với $x = 3 \Rightarrow y = 5$, ta được tiếp điểm ${M_2}\left( {3;5} \right)$, hệ số góc ${k_2} = -3$ và tiếp tuyến $\left( {{\Delta _2}} \right):y = -3x+14.$
Bước 1. Gọi $k$ là hệ số góc của $\Delta$. Khi đó $\Delta$ có phương trình dạng là $\left( \Delta \right):\;\;\;y = k\left( {x - {x_A}} \right) + {y_A}$. Bước 2. Giải hệ $\left\{ \begin{array}{l} f\left( x \right) = k\left( {x - {x_A}} \right) + {y_A}\\ f'\left( x \right) = k \end{array} \right..$ Nghiệm của hệ là toạ độ tiếp điểm. Bước 3. Thay $k$ tìm được ở Bước 2 vào dạng phương trình $\Delta$ có được ở Bước 1. |
Ví dụ 1. $$f\left( x \right) = 2x + 1$$ là hảm
Để học tốt dạng toán này, học sinh cần xem lại chuyên đề điều kiện tiếp xúc.
Giải. Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A\left( {1; - 1} \right)$ và có hệ số góc là $k$ có dạng $$\left( \Delta \right):\;\;\;y = k\left( {x - 1} \right) - 1.$$
$\Delta$ trở thành tiếp tuyến, tức là tiếp xúc với $\left( C \right)$ khi hệ sau có nghiệm $$\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} - 3x + 1 = k\left( {x - 1} \right) - 1\;\;\;\left( 1 \right)\\
3{x^2} - 3 = k\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)
\end{array} \right.$$ Thay $\left( 2 \right)$ vào $\left( 1 \right)$ ta được
$${x^3} - 3x + 1 = \left( {3{x^2} - 3} \right)\left( {x - 1} \right) - 1 \Leftrightarrow - 2{x^3} + 3{x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{1}{2}\\
x = 1
\end{array} \right.$$ Với $x = 1 \Rightarrow y = - 1,k = 0 $. Suy ra tiếp tuyến $$\left( {{\Delta_1}} \right):\;\;\;y = - 1$$ và tiếp điểm ${M_1}\left( {1; - 1} \right)$.
Với $x = - {1 \over 2} \Rightarrow y = {{19} \over 8},k = - {9 \over 4} $. Suy ra tiếp tuyến $$\left( {{\Delta_2}} \right):\;\;\;y = - {9 \over 4}\left( {x + {1 \over 2}} \right) + {{19} \over 8} \Leftrightarrow y = - {9 \over 4}x + {5 \over 4}$$ và tiếp điểm ${M_2}\left( { - {1 \over 2};{{19} \over 8}} \right)$.
$\Delta$ trở thành tiếp tuyến, tức là tiếp xúc với $\left( C \right)$ khi hệ sau có nghiệm $$\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} - 3x + 1 = k\left( {x - 1} \right) - 1\;\;\;\left( 1 \right)\\
3{x^2} - 3 = k\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)
\end{array} \right.$$ Thay $\left( 2 \right)$ vào $\left( 1 \right)$ ta được
$${x^3} - 3x + 1 = \left( {3{x^2} - 3} \right)\left( {x - 1} \right) - 1 \Leftrightarrow - 2{x^3} + 3{x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{1}{2}\\
x = 1
\end{array} \right.$$ Với $x = 1 \Rightarrow y = - 1,k = 0 $. Suy ra tiếp tuyến $$\left( {{\Delta_1}} \right):\;\;\;y = - 1$$ và tiếp điểm ${M_1}\left( {1; - 1} \right)$.
Với $x = - {1 \over 2} \Rightarrow y = {{19} \over 8},k = - {9 \over 4} $. Suy ra tiếp tuyến $$\left( {{\Delta_2}} \right):\;\;\;y = - {9 \over 4}\left( {x + {1 \over 2}} \right) + {{19} \over 8} \Leftrightarrow y = - {9 \over 4}x + {5 \over 4}$$ và tiếp điểm ${M_2}\left( { - {1 \over 2};{{19} \over 8}} \right)$.
Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ $\left( C \right) $ $f\left( x \right) = {x^4} - 4{x^2} + 1$ đi qua điểm $A\left( {2;1} \right).$
Giải. Ta có $f'\left( x \right) = 4{x^3} - 8x.$ Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A\left( {2;1} \right)$ và có hệ số góc $k$ có phương trình dạng $$\left( \Delta \right):y = k\left( {x - 2} \right) + 1.$$ Đường thẳng $\Delta$ tiếp xúc với $\left( C \right)$ khi hệ $$\left\{ \begin{array}{l} {x^4} - 4{x^2} + 1 = k\left( {x - 2} \right) + 1{\rm{ }}\left( 1 \right)\\ 4{x^3} - 8x = k{\rm{ }}\left( 2 \right) \end{array} \right.$$ có ít nhất một nghiệm. Thay $k=4{x^3} - 8x$ ở $\left( 2 \right)$ vào $\left( 1 \right)$ ta được $${x^4} - 4{x^2} + 1 = \left( {4{x^3} - 8x} \right)\left( {x - 2} \right) + 1 \Leftrightarrow x\left( {x - 2} \right)\left( {3{x^2} - 2x - 8} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = 0\\ x = - \frac{4}{3} \end{array} \right..$$ Với $x = 2 \Rightarrow y = 1$, ta được tiếp điểm ${M_1}\left( {2;1} \right)$, hệ số góc ${k_1} = 16$ và tiếp tuyến $\left( {{\Delta _1}} \right):y = 16x - 31.$
Với $x = 0 \Rightarrow y = 1$, ta được tiếp điểm ${M_2}\left( {0;1} \right)$, hệ số góc ${k_2} = 0$ và tiếp tuyến $\left( {{\Delta _2}} \right):y = 1.$
Với $x = - \frac{4}{3} \Rightarrow y = - \frac{239}{81}$, ta được tiếp điểm ${M_3}\left( {- \frac{4}{3};- \frac{239}{81}} \right)$, hệ số góc ${k_3} = \frac{32}{27}$ và tiếp tuyến $\left( {{\Delta _3}} \right):y = \frac{{32}}{{27}}x - \frac{{37}}{{27}}.$
Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ $\left( C \right) $ $f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{x - 2}}$ đi qua điểm $A\left( {5;-1} \right).$
Với $x = 0 \Rightarrow y = 1$, ta được tiếp điểm ${M_2}\left( {0;1} \right)$, hệ số góc ${k_2} = 0$ và tiếp tuyến $\left( {{\Delta _2}} \right):y = 1.$
Với $x = - \frac{4}{3} \Rightarrow y = - \frac{239}{81}$, ta được tiếp điểm ${M_3}\left( {- \frac{4}{3};- \frac{239}{81}} \right)$, hệ số góc ${k_3} = \frac{32}{27}$ và tiếp tuyến $\left( {{\Delta _3}} \right):y = \frac{{32}}{{27}}x - \frac{{37}}{{27}}.$
Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ $\left( C \right) $ $f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{x - 2}}$ đi qua điểm $A\left( {5;-1} \right).$
Giải. Ta có $f'\left( x \right) = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A\left( {5;-1} \right)$ và có hệ số góc $k$ có phương trình dạng $$\left( \Delta \right):y = k\left( {x - 5} \right) - 1.$$ Đường thẳng $\Delta$ tiếp xúc với $\left( C \right)$ khi hệ $$\left\{ \begin{array}{l} \frac{{2x - 1}}{{x - 2}} = k\left( {x - 5} \right) - 1{\rm{ }}\left( 1 \right)\\ \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = k{\rm{ }}\left( 2 \right) \end{array} \right.$$ có ít nhất một nghiệm. Thay $k= \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} $ ở $\left( 2 \right)$ vào $\left( 1 \right)$ ta được $$\frac{{2x - 1}}{{x - 2}} = \frac{{ - 3\left( {x - 5} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 3 \end{array} \right..$$ Với $x = -1 \Rightarrow y = 1$, ta được tiếp điểm ${M_1}\left( {-1;1} \right)$, hệ số góc ${k_1} =- \frac{1}{3}$ và tiếp tuyến $\left( {{\Delta _1}} \right): y = - \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}.$
Với $x = 3 \Rightarrow y = 5$, ta được tiếp điểm ${M_2}\left( {3;5} \right)$, hệ số góc ${k_2} = -3$ và tiếp tuyến $\left( {{\Delta _2}} \right):y = -3x+14.$
Ví dụ 4. Tìm điểm $A$ thuộc $Ox$ để từ đó kẻ được $3$ tiếp tuyến đến đồ thị hàm số $\left( C \right):y = {x^3} + 3{x^2}.$
Giải. Điểm $A$ thuộc $Ox$ nên toạ độ có dạng $A\left( {a;0} \right)$. Giả sử tiếp tuyến $T$ kẻ từ $A$ có hệ số góc $k$, suy ra $$\left( T \right):\;\;\;y = k\left( {x - a} \right).$$ Khi đó $T$ tiếp xúc với $\left( * \right)\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} + 3{x^2} = k\left( {x - a} \right){\rm{ }}\left( 1 \right)\\
3{x^2} + 6x = k{\rm{ }}\left( 2 \right)
\end{array} \right.$
Thay $\left( 2 \right)$ vào $\left( 1 \right)$ ta được $${x^3} + 3{x^2} = \left( {3{x^2} + 6x} \right)\left( {x - a} \right) \Leftrightarrow x\left[ {\left( {{x^2} + 3x} \right) - \left( {3x + 6} \right)\left( {x - a} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
- 2{x^2} + 3\left( {a - 1} \right)x + 6a = 0\;\;\;\;\;\;\left( 3 \right)
\end{array} \right.$$ Từ $A$ kẻ được $3$ tiếp tuyến đến đồ thị $ \Leftrightarrow $ HPT $\left( * \right)$ có $3$ nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow $ PT $\left( 3 \right)$ có hai nghiệm phân biệt khác $0$.
$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\Delta _g} > 0\\
g\left( 0 \right) \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left[ {3\left( {a - 1} \right)} \right]^2} - 4\left( { - 2} \right)6a > 0\\
6a \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
a < - 3\\
a > - \frac{1}{3}
\end{array} \right.\\
a \ne 0
\end{array} \right.$$ Vậy những điểm $A\left( {a;0} \right)$, với $a < - 3$ hoặc $a > - \frac{1}{3}$, $a \ne 0$ sẽ kẻ đươc $3$ tiếp tuyến đến đồ thị hàm số.
{x^3} + 3{x^2} = k\left( {x - a} \right){\rm{ }}\left( 1 \right)\\
3{x^2} + 6x = k{\rm{ }}\left( 2 \right)
\end{array} \right.$
Thay $\left( 2 \right)$ vào $\left( 1 \right)$ ta được $${x^3} + 3{x^2} = \left( {3{x^2} + 6x} \right)\left( {x - a} \right) \Leftrightarrow x\left[ {\left( {{x^2} + 3x} \right) - \left( {3x + 6} \right)\left( {x - a} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
- 2{x^2} + 3\left( {a - 1} \right)x + 6a = 0\;\;\;\;\;\;\left( 3 \right)
\end{array} \right.$$ Từ $A$ kẻ được $3$ tiếp tuyến đến đồ thị $ \Leftrightarrow $ HPT $\left( * \right)$ có $3$ nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow $ PT $\left( 3 \right)$ có hai nghiệm phân biệt khác $0$.
$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\Delta _g} > 0\\
g\left( 0 \right) \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left[ {3\left( {a - 1} \right)} \right]^2} - 4\left( { - 2} \right)6a > 0\\
6a \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
a < - 3\\
a > - \frac{1}{3}
\end{array} \right.\\
a \ne 0
\end{array} \right.$$ Vậy những điểm $A\left( {a;0} \right)$, với $a < - 3$ hoặc $a > - \frac{1}{3}$, $a \ne 0$ sẽ kẻ đươc $3$ tiếp tuyến đến đồ thị hàm số.