Ba điểm thẳng hàng - Bốn điểm đồng phẳng
- Thứ năm - 04/02/2016 15:51
- In ra
- Đóng cửa sổ này
Điều kiện để ba điểm thẳng hàng trong không gian. Điều kiện để bốn điểm không đồng phẳng trong không gian.
Ba điểm thẳng hàng. Trong không gian $Oxyz$, ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng nếu $ \overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {AC} $ cùng phương.
Ví dụ 1. Trong không gian $Oxyz$ chứng minh rằng ba điểm $A\left( {1;3;1} \right),B\left( {0;1;2} \right),C\left( {3;7; - 1} \right)$ thẳng hàng.
(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
Ví dụ 1. Trong không gian $Oxyz$ chứng minh rằng ba điểm $A\left( {1;3;1} \right),B\left( {0;1;2} \right),C\left( {3;7; - 1} \right)$ thẳng hàng.
Giải. Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 2;1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {2;4; - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AC} = - 2\overrightarrow {AB} \Rightarrow \overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} $ cùng phương. Suy ra $A$, $B$, $C$ thẳng hàng.
Bốn điểm đồng phẳng. Trong không gian $Oxyz$, bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ đồng phẳng nếu ba vector $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} $ đồng phẳng.
Ví dụ 2. Chứng minh bốn điểm $A\left( {1; - 1;1} \right),B\left( {1;3;1} \right),C\left( {4;3;2} \right),D\left( {4;1;3} \right)$ không đồng phẳng.
Ví dụ 2. Chứng minh bốn điểm $A\left( {1; - 1;1} \right),B\left( {1;3;1} \right),C\left( {4;3;2} \right),D\left( {4;1;3} \right)$ không đồng phẳng.
Giải. Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {0;4;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {3;4;1} \right),\overrightarrow {AD} = \left( {3;2;2} \right).$ Giả sử $A$, $B$, $C$, $D$ đồng phẳng, khi đó $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} $ cũng đồng phẳng. Suy ra tồn tại hai số thực $x$ và $y$ sao cho
$$\overrightarrow {AB} = x\overrightarrow {AC} + y\overrightarrow {AD} \Leftrightarrow \left( {0;4;0} \right) = x\left( {3;4;1} \right) + y\left( {3;2;2} \right)$$
$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3x + 3y = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
4x + 2y = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\
x + 2y = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)
\end{array} \right.$$
Từ $\left( 1 \right)\& \left( 2 \right) \Rightarrow x = 2,y = - 2.$ Tuy nhiên hai giá trị này không thoả mãn $\left( 3 \right)$ $ \Rightarrow $ hệ vô nghiệm.
Vậy $A$, $B$, $C$, $D$ không đồng phẳng
$$\overrightarrow {AB} = x\overrightarrow {AC} + y\overrightarrow {AD} \Leftrightarrow \left( {0;4;0} \right) = x\left( {3;4;1} \right) + y\left( {3;2;2} \right)$$
$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3x + 3y = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
4x + 2y = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\
x + 2y = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)
\end{array} \right.$$
Từ $\left( 1 \right)\& \left( 2 \right) \Rightarrow x = 2,y = - 2.$ Tuy nhiên hai giá trị này không thoả mãn $\left( 3 \right)$ $ \Rightarrow $ hệ vô nghiệm.
Vậy $A$, $B$, $C$, $D$ không đồng phẳng
Bài tập
(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)