Đối xứng của một điểm qua mặt phẳng
- Thứ sáu - 05/02/2016 23:13
- In ra
- Đóng cửa sổ này
Đối xứng một điểm qua một mặt. Tìm toạ điểm đối xứng của một điểm qua một mặt.
Đối xứng của một điểm qua mặt phẳng. Để tìm toạ độ điểm $M'$ là đối xứng của điểm $M$ qua mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ ta tiến hành các bước sau
Bước 1. Tìm hình chiếu $H$ của điểm $M$ lên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$;
Bước 2. Tìm toạ độ điểm $M'$ sao cho $H$ là trung điểm của $MM'$. $$\left\{ \begin{array}{l}
{x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M}\\
{y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M}\\
{z_{M'}} = 2{z_H} - {z_M}
\end{array} \right.$$
Ví dụ. Tìm toạ độ điểm $M'$ là đối xứng của điểm của $M\left( {2;1;3} \right)$ qua mặt phẳng $\left( \alpha \right):x - y + z - 1 = 0.$
Giải. Bước 1: Tìm toạ độ hình chiếu $H$ của điểm $M$ lên $(\alpha)$.
Gọi $d$ là đường thẳng qua $M$ và vuông góc với $\left( \alpha \right)$. Ta có ${\vec u_d} = {\vec n_\alpha } = \left( {1; - 1;1} \right).$
Phương trình đường thẳng $d$ là $\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + t\\
y = 1 - t\\
z = 3 + t
\end{array} \right..$
Thay $x = 2 + t,y = 1 - t,z = 3 + t$ vào phương trình của $(\alpha)$ ta được $$2 + t - \left( {1 - t} \right) + 3 + t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = - 1.$$ Thay $t=-1$ vào phương trình của $d$ ta được $x = 1;y = 2;z = 2.$
Vậy hình chiếu vuông góc của điểm $M\left( {2;1;3} \right)$ lên mặt phẳng $\left( \alpha \right) $ là $H\left( {1;2;2} \right).$
Bước 2: Áp dụng công thức trung điểm để tìm toạ độ của điểm $M'$.
Vì $H$ là trung điểm của $MM'$ nên ta có $$\left\{ \begin{array}{l} {x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M} = 0\\ {y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M} = 3\\ {z_{M'}} = 2{z_H} - {z_M} = 1 \end{array} \right. \Rightarrow M'\left( {0;3;1} \right).$$
(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
Gọi $d$ là đường thẳng qua $M$ và vuông góc với $\left( \alpha \right)$. Ta có ${\vec u_d} = {\vec n_\alpha } = \left( {1; - 1;1} \right).$
Phương trình đường thẳng $d$ là $\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + t\\
y = 1 - t\\
z = 3 + t
\end{array} \right..$
Thay $x = 2 + t,y = 1 - t,z = 3 + t$ vào phương trình của $(\alpha)$ ta được $$2 + t - \left( {1 - t} \right) + 3 + t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = - 1.$$ Thay $t=-1$ vào phương trình của $d$ ta được $x = 1;y = 2;z = 2.$
Vậy hình chiếu vuông góc của điểm $M\left( {2;1;3} \right)$ lên mặt phẳng $\left( \alpha \right) $ là $H\left( {1;2;2} \right).$
Bước 2: Áp dụng công thức trung điểm để tìm toạ độ của điểm $M'$.
Vì $H$ là trung điểm của $MM'$ nên ta có $$\left\{ \begin{array}{l} {x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M} = 0\\ {y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M} = 3\\ {z_{M'}} = 2{z_H} - {z_M} = 1 \end{array} \right. \Rightarrow M'\left( {0;3;1} \right).$$
Bài tập
(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)