Hai đường thẳng chéo nhau
- Thứ sáu - 05/02/2016 19:18
- In ra
- Đóng cửa sổ này
Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian. Hai đường thẳng chéo nhau. Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau. Viết phương trình mặt phẳng chứa một đường thẳng và song song với một đường thẳng.

$d_1$ đi qua điểm $M_1$ và có vector chỉ phương ${\vec u_1}.$
$d_2$ đi qua điểm $M_2$ và có vector chỉ phương ${\vec u_2}.$
$d_2$ đi qua điểm $M_2$ và có vector chỉ phương ${\vec u_2}.$
Khi đó $d_1$ và $d_2$ chéo nhau tương đương với các mệnh đề sau
$\left( i \right)$ $\left\{ \begin{array}{l} {d_1} \cap {d_2} = \emptyset \\ {{\vec u}_1}\not \parallel {{\vec u}_2} \end{array} \right.$
$\left( ii \right)$ $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,$ ${\vec u_1},{\vec u_2}$ không đồng phẳng, nghĩa là tích hỗn tạp khác $0$.
Mệnh đề. Nếu hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ chéo nhau thì tồn tại một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
Ví dụ 1. Chứng minh hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right):\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 5 - 2t\\
z = 14 - 3t
\end{array} \right.$ và $\left( {{d_2}} \right):\left\{ \begin{array}{l}
x = 9 - 4t'\\
y = 1 + t'\\
z = - 1 + 5t'
\end{array} \right.$ chéo nhau.
Ví dụ 1. Chứng minh hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right):\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 5 - 2t\\
z = 14 - 3t
\end{array} \right.$ và $\left( {{d_2}} \right):\left\{ \begin{array}{l}
x = 9 - 4t'\\
y = 1 + t'\\
z = - 1 + 5t'
\end{array} \right.$ chéo nhau.
Giải. Cách 1: Dùng mệnh đề $\left( i \right)$:
Hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ chéo nhau khi hệ sau vô nghiệm $$\left( * \right){\rm{ }}\left\{ \begin{array}{l} t = 9 - 4t'\\ 5 - 2t = 1 + t'\\ 14 - 3t = - 1 + 5t' \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t + 4t' = 9{\rm{ }}\left( 1 \right)\\ 2t + t' = 4{\rm{ }}\left( 2 \right)\\ 3t + 5t' = 15{\rm{ }}\left( 3 \right) \end{array} \right.$$ Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta suy ra $t = 1,t' = 2$, hai giá trị này không thoả $\left( 3 \right)$ nên hệ $\left( * \right)$ vô nghiệm. Suy ra $d_1$ và $d_2$ không có điểm chung. Đến đây ta suy ra hai đường thẳng này chéo nhau hoặc song song nhau, ta chỉ cần loại bỏ trường hợp thứ 2.
Mặt khác vector chỉ phương ${\vec u_{{d_1}}} = \left( {1; - 2; - 3} \right),{\vec u_{{d_2}}} = \left( { - 4;1;5} \right)$ không song song nhau vì $\frac{1}{{ - 4}} \ne \frac{{ - 2}}{1}.$ Suy ra $d_1$ và $d_2$ không song song. Vậy $d_1$ và $d_2$ chéo nhau.
Mặt khác vector chỉ phương ${\vec u_{{d_1}}} = \left( {1; - 2; - 3} \right),{\vec u_{{d_2}}} = \left( { - 4;1;5} \right)$ không song song nhau vì $\frac{1}{{ - 4}} \ne \frac{{ - 2}}{1}.$ Suy ra $d_1$ và $d_2$ không song song. Vậy $d_1$ và $d_2$ chéo nhau.
Cách 2: Dùng mệnh đề $\left( ii \right)$:
Ta có $\left[ {{{\vec u}_{{d_1}}},{{\vec u}_{{d_2}}}} \right] = \left( { - 7;7;-7} \right).$ Chọn ${M_1}\left( {0; 5;14} \right) \in {d_1},{M_2}\left( {9;1;-1} \right) \in {d_2}.$ Suy ra $$\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( {9; - 4; - 15} \right).\\ \Rightarrow \left[ {{{\vec u}_{{d_1}}},{{\vec u}_{{d_2}}}} \right] \cdot \overrightarrow {{M_1}{M_2}} = - 7 \cdot 9 + \left( { - 4} \right) \cdot 7 + \left( { - 15} \right) \cdot \left( { - 7} \right) = 14 \ne 0. \end{array}$$
Suy ra $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,$ ${\vec u_1},{\vec u_2}$ không đồng phẳng, nghĩa là $d_1$ và $d_2$ chéo nhau.
Suy ra $\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,$ ${\vec u_1},{\vec u_2}$ không đồng phẳng, nghĩa là $d_1$ và $d_2$ chéo nhau.