Toạ độ của một vector theo toạ độ điểm đầu và điểm cuối
- Thứ bảy - 27/08/2016 21:06
- In ra
- Đóng cửa sổ này
Công thức toạ độ của vector theo toạ độ điểm đầu và điểm cuối. Đội dài của vector AB.
Toạ độ của vector theo điểm đầu và điểm cuối. Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)$. Khi đó toạ độ của vector $\overrightarrow {AB} $ là $$\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right)$$ Từ đây ta có
Công thức tính độ dài của vector $\overrightarrow {AB} $ là $$\overrightarrow {AB} = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} .$$
Ví dụ 1. Trong không gian cho tam giác với $Oxyz$ cho hai điểm $A\left( { - 1;2;3} \right),B\left( {5, - 3,4} \right)$. Khi đó ta có $$\eqalign{
& \overrightarrow {AB} = \left( {5 - \left( { - 1} \right); - 3 - 2;4 - 3} \right) = \left( {6; - 5;1} \right), \cr
& AB = \sqrt {{6^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt {62} . \cr} $$
Ví dụ 2. Trong không gian $Oxyz$ cho ba điểm $A\left( {1; - 2;3} \right),B\left( {2; - 2;5} \right),C\left( {3; - 1;0} \right)$. Tìm toạ độ điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành.
Giải. Giả sử $D(x_D,y_D,z_D)$. Ta có $$\overrightarrow {AB} = \left( {1;0;2} \right),\overrightarrow {DC} = \left( {3 - {x_D}; - 1 - {y_D};0 - {z_D}} \right)$$ $ABCD$ là hình bình hành khi $$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 1 = 3 - {x_D} \hfill \\ 0 = - 1 - {y_D} \hfill \\ 2 = 0 - {z_D} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_D} = 2 \hfill \\ {y_D} = - 1 \hfill \\ {z_D} = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow D\left( {2; - 1; - 2} \right).$$
Công thức tính độ dài của vector $\overrightarrow {AB} $ là $$\overrightarrow {AB} = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} .$$
Ví dụ 1. Trong không gian cho tam giác với $Oxyz$ cho hai điểm $A\left( { - 1;2;3} \right),B\left( {5, - 3,4} \right)$. Khi đó ta có $$\eqalign{
& \overrightarrow {AB} = \left( {5 - \left( { - 1} \right); - 3 - 2;4 - 3} \right) = \left( {6; - 5;1} \right), \cr
& AB = \sqrt {{6^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt {62} . \cr} $$
Ví dụ 2. Trong không gian $Oxyz$ cho ba điểm $A\left( {1; - 2;3} \right),B\left( {2; - 2;5} \right),C\left( {3; - 1;0} \right)$. Tìm toạ độ điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành.
Giải. Giả sử $D(x_D,y_D,z_D)$. Ta có $$\overrightarrow {AB} = \left( {1;0;2} \right),\overrightarrow {DC} = \left( {3 - {x_D}; - 1 - {y_D};0 - {z_D}} \right)$$ $ABCD$ là hình bình hành khi $$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 1 = 3 - {x_D} \hfill \\ 0 = - 1 - {y_D} \hfill \\ 2 = 0 - {z_D} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_D} = 2 \hfill \\ {y_D} = - 1 \hfill \\ {z_D} = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow D\left( {2; - 1; - 2} \right).$$