Toạ độ trọng tâm của tam giác trong không gian

 

 
Toạ độ trọng tâm của tam giác. Trong không gian $Oxyz$ cho tam giác $ABC$ với $A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right),C\left( {{x_C},{y_C},{z_C}} \right)$. Khi đó toạ độ trọng tâm $G$ được xác định theo công thức 


$$\left\{ \begin{array}{l}
{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {z_C}}}{3}\\
{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\\
{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}
\end{array} \right.$$

Ví dụ. Trong không gian $Oxyz$ cho tam giác $ABC$ với $A\left( {1;2;3} \right),B\left( {2;3;1} \right),C\left( {4;-4;1} \right).$ Hãy xác định toạ độ trong tâm $G$. Chứng minh đây là tam giác vuông đồng thời cho biết diện tích của tam giác. 
 
Giải. Toạ độ trong tâm $G$ của tam giác 
$$\left\{ \begin{array}{l}
{x_G} = \frac{{1 + 2 + 4}}{3} = \frac{7}{3}\\
{y_G} = \frac{{2 + 3 - 4}}{3} = \frac{1}{3}\\
{z_G} = \frac{{3 + 1 + 1}}{3} = \frac{5}{3}
\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {\frac{7}{3};\frac{7}{3};\frac{5}{3}} \right)$$