Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức
- Thứ bảy - 06/02/2016 21:15
- In ra
- Đóng cửa sổ này
Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức. Các bất đẳng thức cơ bản cần nhớ.
Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức $\hbox{(BĐT)}$. Khi chứng minh các bất đẳng thức, ta hay dùng các tính chất sau
Chú ý. $\left( {e'} \right)$ là tính chất hay dùng nhất, và dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi ${x_1} = {x_2} = ... = {x_n} = 0.$
Để chứng minh BĐT, ta thường hay dùng các tính chất trên để biến đổi BĐT cần chứng minh về một điều hiển nhiên đúng.
Ví dụ 1. Chứng minh với mọi số thực $x \ne 0$ ta luôn có $x + \frac{1}{x} \geqslant 2.\;\;\;\;\;\left( 1 \right)$
(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
$\left( a \right)\;\;\;\;\left\{ \begin{gathered}
x \geqslant y \hfill \\
y \geqslant z \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow x \geqslant z,\;\;\;\forall x,y,z \in \mathbb{R}.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( b \right)\;\;\;\;\left\{ \begin{gathered}
x \geqslant y \hfill \\
a \geqslant b \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow x + a \geqslant y + b,\;\;\;\forall x,y,a,b \in \mathbb{R}.$
$\left( c \right)\;\;\;\;x \geqslant y \Rightarrow x + z \geqslant y + z,\;\;\;\forall x,y,z \in \mathbb{R}.\;\;\;\left( d \right)\;\;\;\;\left\{ \begin{gathered}
x \geqslant y \hfill \\
a \geqslant b \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow xa \geqslant yb,\;\;\;\forall x,y \in \mathbb{R},\;\;\;a,b \in {\mathbb{R}^ + }.$
$\left( e \right)\;\;\;{x^2} \geqslant 0,\;\;\;\forall x \in \mathbb{R}.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( {e'} \right)\;\;\;{A_1}x_1^2 + {A_2}x_2^2 + ... + {A_n}x_n^2 \geqslant 0,\;\forall x \in \mathbb{R},{A_i} \in {\mathbb{R}^ + }.$
x \geqslant y \hfill \\
y \geqslant z \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow x \geqslant z,\;\;\;\forall x,y,z \in \mathbb{R}.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( b \right)\;\;\;\;\left\{ \begin{gathered}
x \geqslant y \hfill \\
a \geqslant b \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow x + a \geqslant y + b,\;\;\;\forall x,y,a,b \in \mathbb{R}.$
$\left( c \right)\;\;\;\;x \geqslant y \Rightarrow x + z \geqslant y + z,\;\;\;\forall x,y,z \in \mathbb{R}.\;\;\;\left( d \right)\;\;\;\;\left\{ \begin{gathered}
x \geqslant y \hfill \\
a \geqslant b \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow xa \geqslant yb,\;\;\;\forall x,y \in \mathbb{R},\;\;\;a,b \in {\mathbb{R}^ + }.$
$\left( e \right)\;\;\;{x^2} \geqslant 0,\;\;\;\forall x \in \mathbb{R}.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( {e'} \right)\;\;\;{A_1}x_1^2 + {A_2}x_2^2 + ... + {A_n}x_n^2 \geqslant 0,\;\forall x \in \mathbb{R},{A_i} \in {\mathbb{R}^ + }.$
Chú ý. $\left( {e'} \right)$ là tính chất hay dùng nhất, và dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi ${x_1} = {x_2} = ... = {x_n} = 0.$
Để chứng minh BĐT, ta thường hay dùng các tính chất trên để biến đổi BĐT cần chứng minh về một điều hiển nhiên đúng.
Ví dụ 1. Chứng minh với mọi số thực $x \ne 0$ ta luôn có $x + \frac{1}{x} \geqslant 2.\;\;\;\;\;\left( 1 \right)$
Giải. Ta có $$
\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 1}}{x} \geqslant 2 \Leftrightarrow {x^2} + 1 \geqslant 2x \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 \geqslant 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} \geqslant 0.$$
BĐT cuối cùng hiển nhiên đúng. Như vậy ta đã chứng minh xong BĐT $\left( 1 \right)$.
Theo tính chất $\left( 5' \right)$ thì dấu bằng của $\left( 1 \right)$ xảy ra khi $x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1.$
\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 1}}{x} \geqslant 2 \Leftrightarrow {x^2} + 1 \geqslant 2x \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 \geqslant 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} \geqslant 0.$$
BĐT cuối cùng hiển nhiên đúng. Như vậy ta đã chứng minh xong BĐT $\left( 1 \right)$.
Theo tính chất $\left( 5' \right)$ thì dấu bằng của $\left( 1 \right)$ xảy ra khi $x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1.$
Ví dụ 2. Chứng minh bất đẳng thức $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geqslant 2,\;\;\forall a,b \in {\mathbb{R}^ + }.\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)$
Giải. Ta có $$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geqslant 2 \Leftrightarrow \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{ab}} \geqslant 2 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \geqslant 2ab \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 2ab \geqslant 0 \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} \geqslant 0.$$
Điều này luôn đúng với mọi, do đó BĐT $\left( 2 \right)$ xem như được chứng minh xong. Dấu $=$ xảy ra khi $a - b \Leftrightarrow a = b.$
Điều này luôn đúng với mọi, do đó BĐT $\left( 2 \right)$ xem như được chứng minh xong. Dấu $=$ xảy ra khi $a - b \Leftrightarrow a = b.$
Ví dụ 3. Chứng minh bất đẳng thức ${a^2} + {b^2} + 1 \geqslant 2a,\;\;\;\forall a,b \in \mathbb{R}.\;\;\;\;\;\;\;\left( 3 \right)$
Giải. Ta có ${a^2} + {b^2} + 1 \geqslant 2a \Leftrightarrow {a^2} - 2a + 1 + {b^2} \geqslant 0 \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {b^2} \geqslant 0.$
BĐT cuối cùng luôn đúng, do đó $\left( 3 \right)$ được chứng minh xong. Dấu $=$ xảy ra khi $\left\{ \begin{gathered}
a - 1 = 0 \hfill \\
b = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
a = 1 \hfill \\
b = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right..$
BĐT cuối cùng luôn đúng, do đó $\left( 3 \right)$ được chứng minh xong. Dấu $=$ xảy ra khi $\left\{ \begin{gathered}
a - 1 = 0 \hfill \\
b = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
a = 1 \hfill \\
b = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right..$
Ví dụ 4. Chứng minh bất đẳng thức ${a^2} + {b^2} + {c^2} \geqslant ab + bc + ba,\;\;\;\forall a,b,c \in \mathbb{R}\;\;\;\;\;\;\;\left( 4 \right).$
Giải. Nhân hai vế của $\left( 4 \right)$ cho $2$ ta được $$\begin{gathered}
2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} \geqslant 2ab + 2bc + 2ba \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} - 2ac + {a^2}} \right) \geqslant 0 \hfill \\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} \geqslant 0. \hfill \\
\end{gathered} $$
2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} \geqslant 2ab + 2bc + 2ba \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} - 2ac + {a^2}} \right) \geqslant 0 \hfill \\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} \geqslant 0. \hfill \\
\end{gathered} $$
BĐT cuối cùng luôn đúng, dấu $=$ xảy ra khi $\left\{ \begin{gathered}
a - b = 0 \hfill \\
b - c = 0 \hfill \\
c - a = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow a = b = c.$
a - b = 0 \hfill \\
b - c = 0 \hfill \\
c - a = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow a = b = c.$
Ví dụ 5. Chứng minh bất đẳng thức ${a^3} + {b^3} \geqslant {a^2}b + a{b^2}\;\;\;\forall a \geqslant 0,b \geqslant 0.\;\;\;\;\;\;\left( 5 \right)$
Giải. Ta có $$\left( 3 \right) \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) \geqslant ab\left( {a + b} \right) \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left[ {\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) - ab} \right] \geqslant 0 \Leftrightarrow \left( {a + b} \right){\left( {a - b} \right)^2} \geqslant 0.$$
Vì $a \geqslant 0,b \geqslant 0$ nên $a + b \geqslant 0$. Suy ra BĐT cuối cùng luôn đúng, nghĩa là ta đã chứng minh xong BĐT $\left( 5 \right)$. Dấu $=$ xảy ra khi $a - b = 0 \Leftrightarrow a = b.$
Vì $a \geqslant 0,b \geqslant 0$ nên $a + b \geqslant 0$. Suy ra BĐT cuối cùng luôn đúng, nghĩa là ta đã chứng minh xong BĐT $\left( 5 \right)$. Dấu $=$ xảy ra khi $a - b = 0 \Leftrightarrow a = b.$
Bài tập
(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)