Công thức nhân xác suất
- Thứ tư - 03/02/2016 01:24
- In ra
- Đóng cửa sổ này
Công thức nhân xác suất thứ nhất. Công thức nhân xác suất thứ hai. Công thức tính xác suất có điều kiện.
Công thức nhân xác suất thứ nhất. Cho hai biến cố $A$ và $B$ độc lập nhau. Khi đó xác suất của biến cố giao ${A \cap B}$ được tính theo công thức sau
$$P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)$$
Bạn đọc có thể đọc lại khai niệm hai biến cố độc lập ở đây.
Ví dụ 1. Có hai hội bi: hộp I gồm có 6 bi đỏ và 4 bi trắng; hộp II gồm có 7 bi đỏ và 3 bi trắng. Rút ra từ mỗi hộp 2 bi. Tính xác suất của các biến cố
Hơn nữa, vì $A_1$ và $B_2$ độc lập nhau nên $$P\left( {{A_2} \cap {B_1}} \right) = P\left( {{A_2}} \right) \cdot P\left( {{B_1}} \right) = \frac{5}{{15}} \cdot \frac{7}{{15}} = \frac{7}{{45}}.$$
Tương tự ta cũng có $$P\left( {{A_1} \cap {B_2}} \right) = P\left( {{A_1}} \right) \cdot P\left( {{B_2}} \right) = \frac{8}{{15}} \cdot \frac{7}{{15}} = \frac{{56}}{{225}}.$$
Cuối cùng ta được $$P\left( B \right) = \frac{7}{{45}} + \frac{{56}}{{225}} = \frac{{91}}{{225}}.$$
Công thức nhân xác suất thứ hai. Cho $A$ và $B$ là hai biến cố bất kì. Khi đó xác suất của biến cố giao $A \cap B$ được tính theo công thức $$P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B/A} \right) = P\left( {A/B} \right) \cdot P\left( B \right).$$
Nhận xét 1. Khi $A$ và $B$ độc lập nhau thì, theo định nghĩa, ta có $P\left( {A/B} \right) = P\left( A \right)$ và $P\left( {B/A} \right) = P\left( B \right)$. Khi đó công thức nhân thứ hai trở thành công thức nhân thứ nhất. Nói cách khác, Công thức nhân thứ nhất là một trường hợp đặc biệt của công thức nhân thứ hai khi mà $A$ và $B$ độc lập nhau.
Công thức nhân thứ hai có thể mở rộng ra có nhiều biến cố, chẳn hạn như $$\eqalign{
& P\left( {ABC} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B/A} \right) \cdot P\left( {C/AB} \right); \cr
& P\left( {ABCD} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B/A} \right) \cdot P\left( {C/AB} \right) \cdot P\left( {D/ABC} \right). \cr} $$
Ví dụ 3. Tung một đồng xu 2 lần. Tính xác suất của biến cố $M:$ cả hai lần gieo đều xuất hiện mặt ngữa, biết rằng
Giải. Không gian bao gồm tất cả các biến cố sơ cấp trong phép thử này là $\Omega = \left\{ {SS,NN,NS,SN} \right\}$. Trong đó ký hiệu $SN$ là biến cố lần đấu xuất hiện mặt sấp và lần hai cũng mặt ngữa. Như vậy
$$M = \left\{ {NN} \right\};\;\;\;A = \left\{ {NN,NS} \right\};\;\;\;B = \left\{ {NN,NS,SN} \right\}$$
$$P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)$$
Bạn đọc có thể đọc lại khai niệm hai biến cố độc lập ở đây.
Ví dụ 1. Có hai hội bi: hộp I gồm có 6 bi đỏ và 4 bi trắng; hộp II gồm có 7 bi đỏ và 3 bi trắng. Rút ra từ mỗi hộp 2 bi. Tính xác suất của các biến cố
$A:$ trong $4$ bi được rút ra tất cả đều là bi đỏ.
$B:$ trong $4$ bi được rút ra có đúng $3$ bi đỏ.
Giải. Gọi ${A_0},{A_1},{A_2}$ lần lượt là các biến cố có đúng $0$, $1$, $2$ bi đỏ trong $2$ bi được rút ra từ hộp I. Các biến cố này đôi một xung khắc nhau. Tương tự, gọi ${B_0},{B_1},{B_2}$ lần lượt là các biến cố có đúng $0$, $1$, $2$ bi đỏ trong $2$ bi được rút ra từ hộp II và các biến cố này cũng đôi một xung khắc nhau. Ta có $$\eqalign{
& P\left( {{A_0}} \right) = \frac{{C_6^0C_4^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{2}{{15}};\;\;\;P\left( {{A_1}} \right) = \frac{{C_6^1C_4^1}}{{C_{10}^2}} = \frac{8}{{15}};\;\;\;P\left( {{A_2}} \right) = \frac{{C_6^2C_4^0}}{{C_{10}^2}} = \frac{5}{{15}}; \cr
& P\left( {{B_0}} \right) = \frac{{C_7^0C_3^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{1}{{15}};\;\;\;P\left( {{B_1}} \right) = \frac{{C_7^1C_3^1}}{{C_{10}^2}} = \frac{7}{{15}};\;\;\;P\left( {{B_2}} \right) = \frac{{C_7^2C_3^0}}{{C_{10}^2}} = \frac{7}{{15}}. \cr} $$
& P\left( {{A_0}} \right) = \frac{{C_6^0C_4^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{2}{{15}};\;\;\;P\left( {{A_1}} \right) = \frac{{C_6^1C_4^1}}{{C_{10}^2}} = \frac{8}{{15}};\;\;\;P\left( {{A_2}} \right) = \frac{{C_6^2C_4^0}}{{C_{10}^2}} = \frac{5}{{15}}; \cr
& P\left( {{B_0}} \right) = \frac{{C_7^0C_3^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{1}{{15}};\;\;\;P\left( {{B_1}} \right) = \frac{{C_7^1C_3^1}}{{C_{10}^2}} = \frac{7}{{15}};\;\;\;P\left( {{B_2}} \right) = \frac{{C_7^2C_3^0}}{{C_{10}^2}} = \frac{7}{{15}}. \cr} $$
Rõ ràng $A$ xảy ra khi $A_2$ và $B_2$ đồng thời xảy ra. Do đó $A = {A_2} \cdot {B_2}.$ Hơn nữa hai biến cố này độc lập nhau vì hai hộp bi này hoàn toàn độc lập nhau. Áp dụng công thức nhân xác suất thứ nhất ta có
$$P\left( A \right) = P\left( {{A_2} \cap {B_2}} \right) = P\left( {{A_2}} \right) \cdot P\left( {{B_2}} \right) = \frac{5}{{15}} \cdot \frac{7}{{15}} = \frac{7}{{45}}.$$
Biến cố $B$ xảy ra khi: $A_1$ và $B_2$ đồng thời xảy ra hoặc $A_1$ và $B_2$ đồng thời xảy ra. Do đó ta có sự phân tích $$B = \left( {{A_2} \cap {B_1}} \right) \cup \left( {{A_1} \cap {B_2}} \right).$$ Hơn nữa biến cố $\left( {{A_2} \cap {B_1}} \right)$ và ${{A_1} \cap {B_2}}$ xung khắc nhau vì $\left( {{A_2} \cap {B_1}} \right) \cap \left( {{A_1} \cap {B_2}} \right) = \left( {{A_2} \cap {A_1}} \right) \cap \left( {{B_1} \cap {B_2}} \right) = \emptyset \cap \emptyset = \emptyset .$ Do đó áp dụng Công thức cộng thứ nhất ta có $$P\left( B \right) = P\left[ {\left( {{A_2} \cap {B_1}} \right) \cup \left( {{A_1} \cap {B_2}} \right)} \right] = P\left( {{A_2} \cap {B_1}} \right) + P\left( {{A_1} \cap {B_2}} \right).$$
Hơn nữa, vì $A_1$ và $B_2$ độc lập nhau nên $$P\left( {{A_2} \cap {B_1}} \right) = P\left( {{A_2}} \right) \cdot P\left( {{B_1}} \right) = \frac{5}{{15}} \cdot \frac{7}{{15}} = \frac{7}{{45}}.$$
Tương tự ta cũng có $$P\left( {{A_1} \cap {B_2}} \right) = P\left( {{A_1}} \right) \cdot P\left( {{B_2}} \right) = \frac{8}{{15}} \cdot \frac{7}{{15}} = \frac{{56}}{{225}}.$$
Cuối cùng ta được $$P\left( B \right) = \frac{7}{{45}} + \frac{{56}}{{225}} = \frac{{91}}{{225}}.$$
Công thức nhân xác suất thứ hai. Cho $A$ và $B$ là hai biến cố bất kì. Khi đó xác suất của biến cố giao $A \cap B$ được tính theo công thức $$P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B/A} \right) = P\left( {A/B} \right) \cdot P\left( B \right).$$
Nhận xét 1. Khi $A$ và $B$ độc lập nhau thì, theo định nghĩa, ta có $P\left( {A/B} \right) = P\left( A \right)$ và $P\left( {B/A} \right) = P\left( B \right)$. Khi đó công thức nhân thứ hai trở thành công thức nhân thứ nhất. Nói cách khác, Công thức nhân thứ nhất là một trường hợp đặc biệt của công thức nhân thứ hai khi mà $A$ và $B$ độc lập nhau.
Công thức nhân thứ hai có thể mở rộng ra có nhiều biến cố, chẳn hạn như $$\eqalign{
& P\left( {ABC} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B/A} \right) \cdot P\left( {C/AB} \right); \cr
& P\left( {ABCD} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B/A} \right) \cdot P\left( {C/AB} \right) \cdot P\left( {D/ABC} \right). \cr} $$
Công thức tính xác suất có điều kiện. Từ công thức nhân xác suất thứ hai, ta suy ra công thức tính xác suất của biến cố $A$ với điều kiện $B$ đã xảy ra như sau $$P\left( {A/B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}.$$
Ví dụ 2. Một bạn sinh viên tham gia một kì thi qua $3$ vòng thi. Xác suất để bạn sinh viên này thi đậu vòng 1 là $0.5$. Nếu qua khỏi vòng $1$ thì xác suất để bạn này thi đậu ở vòng $2$ là 0.6. Nếu đã vượt qua được hai vòng trước đó thì xác suất để bạn ấy thi đậu vòng $3$ là 0.7. Tính xác suất để bạn sinh viên này thi đậu tất cả các vòng thi.
Ví dụ 2. Một bạn sinh viên tham gia một kì thi qua $3$ vòng thi. Xác suất để bạn sinh viên này thi đậu vòng 1 là $0.5$. Nếu qua khỏi vòng $1$ thì xác suất để bạn này thi đậu ở vòng $2$ là 0.6. Nếu đã vượt qua được hai vòng trước đó thì xác suất để bạn ấy thi đậu vòng $3$ là 0.7. Tính xác suất để bạn sinh viên này thi đậu tất cả các vòng thi.
Giải. Gọi $D_1$, $D_2$, $D_3$ lần lượt là biến cố bạn sinh viên này thi đậu ở vòng $1$, $2$, $3$. Khi đó bạn này thi đậu tất cả các vòng khi tất cả các biến cố này đồng thời xảy ra, và áp dụng công thức nhân xác suất thứ hai ta có $$P\left( {{D_1}{D_2}{D_3}} \right) = P\left( {{D_1}} \right) \cdot P\left( {{D_2}/{D_1}} \right) \cdot P\left( {{D_3}/{D_1}{D_2}} \right) = 0.5 \cdot 0.6 \cdot 0.7 = 0.21.$$
Ví dụ 3. Tung một đồng xu 2 lần. Tính xác suất của biến cố $M:$ cả hai lần gieo đều xuất hiện mặt ngữa, biết rằng
a. $A:$ lần đầu xuất hiện mặt ngữa.
b. $B:$ có ít nhất là một lần xuất hiện mặt ngữa.
Giải. Không gian bao gồm tất cả các biến cố sơ cấp trong phép thử này là $\Omega = \left\{ {SS,NN,NS,SN} \right\}$. Trong đó ký hiệu $SN$ là biến cố lần đấu xuất hiện mặt sấp và lần hai cũng mặt ngữa. Như vậy
$$M = \left\{ {NN} \right\};\;\;\;A = \left\{ {NN,NS} \right\};\;\;\;B = \left\{ {NN,NS,SN} \right\}$$
Áp dụng công thức xác suất có điều kiện ta có $$\eqalign{
& P\left( {M/A} \right) = \frac{{P\left( {M \cap A} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{P\left( {NN} \right)}}{{P\left( {NN,NS} \right)}} = \frac{{1/4}}{{2/4}} = \frac{1}{2}. \cr
& P\left( {M/B} \right) = \frac{{P\left( {M \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{P\left( {NN} \right)}}{{P\left( {NN,NS,SN} \right)}} = \frac{{1/4}}{{3/4}} = \frac{1}{3}. \cr} $$
& P\left( {M/A} \right) = \frac{{P\left( {M \cap A} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{P\left( {NN} \right)}}{{P\left( {NN,NS} \right)}} = \frac{{1/4}}{{2/4}} = \frac{1}{2}. \cr
& P\left( {M/B} \right) = \frac{{P\left( {M \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{P\left( {NN} \right)}}{{P\left( {NN,NS,SN} \right)}} = \frac{{1/4}}{{3/4}} = \frac{1}{3}. \cr} $$