Phép thử và biến cố
- Thứ ba - 26/01/2016 21:18
- In ra
- Đóng cửa sổ này
Phép thử. Mỗi phép thử là một thí nghiệm, và mỗi kết quả của thí nghiệm là một biến cố.
Ví dụ 1. Thực hiện phép thử là tung một đồng xu đồng chất hai mặt, các biến cố có thể xảy ra là:
- Xuất hiện mặt sắp;
- Xuất hiện mặt ngữa.
Ví dụ 2. Thực hiện phép thử là tung một con xúc xác 6 mặt.
Các biến cố có thể xảy ra là:
- $ {{A}_{1}}$: Xuất hiện mặt 1 chấm;
- $ {{A}_{2}}$: Xuất hiện mặt 2 chấm;
- $ {{A}_{3}}$: Xuất hiện mặt 3 chấm;
- $ {{A}_{4}}$: Xuất hiện mặt 4 chấm;
- $ {{A}_{5}}$: Xuất hiện mặt 5 chấm;
- $ {{A}_{6}}$: Xuất hiện mặt 6 chấm;
- $ A$: Xuất hiện mặt có số chấm chẵn;
- $ B$: Xuất hiện mặt có cố chấm lẻ;
- $ C$: Xuất hiện mặt có cố chấm $ \ge 4.$;
- $ D$: Xuất hiện mặt có cố chấm $ \le 3.$;
- $ E$: Xuất hiện mặt có số chấm $ \ge 1.$
- $ F$: Xuất hiện mặt có số chấm $ \ge 7.$
Biến cố chắc chắn là biến cố chắc chắn xảy ra trong phép thử. Biến cố chắc chắn được ký hiệu là $ \Omega .$
Ví dụ 3. Trong Ví dụ 2 thì biến cố $ E$ là biến cố chắc chắn.
Biến cố bất khả là biến cố không thể xảy ra trong phép thử. Biến cố không thể ký hiệu là $ \varnothing .$
Ví dụ 4. Trong Ví dụ 2 thì biến cố $ F$ là biến cố bất khả.
Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy tra trong phép thử. Người ta thường dùng các chữ cái in hoa như $ A,B,...,{{A}_{1}},{{B}_{1}},...$ để ký hiệu cho các biến cố ngẫu nhiên.
Ví dụ 5. Trong Ví dụ 2 thì các biến cố $ {{A}_{1}},{{A}_{2}},...,{{A}_{6}},A,B,C,D$ là các biến cố ngẫu nhiên.
Biến cố hợp của hai biến cố $ A$ và $ B$, ký hiệu $ A\cup B$, là biến cố được xác định như sau
Ví dụ 6. Trong Ví dụ 2 ta có:
- $ {{A}_{1}}=\left\{ 1 \right\},{{A}_{2}}=\left\{ 2 \right\},{{A}_{3}}=\left\{ 3 \right\},{{A}_{4}}=\left\{ 4 \right\},{{A}_{5}}=\left\{ 5 \right\},{{A}_{6}}=\left\{ 6 \right\}.$
- $ A={{A}_{2}}\cup {{A}_{4}}\cup {{A}_{6}}=\left\{ 2,4,6 \right\}.$
- $ B={{A}_{1}}\cup {{A}_{3}}\cup {{A}_{5}}=\left\{ 1,3,5 \right\}.$
- $ D={{A}_{1}}\cup {{A}_{2}}\cup {{A}_{3}}=\left\{ 1,2,3 \right\}.$
- $ E={{A}_{1}}\cup ...\cup {{A}_{6}}=\left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}.$
- $ F=\varnothing .$
Ví dụ 7. Trong Ví dụ 2 ta có:
- $ A\cup B=C\cup D=E=\Omega .$
- $ A\cup C=\left\{ 2,4,5,6 \right\}.$
- $ A\cup D=\left\{ 1,2,3,4,6 \right\}.$
Biến cố giao của hai biến cố $ A$ và $ B$, ký hiệu $ A\cap B$, là biến cố được xác định như sau
Ví dụ 8. Trong Ví dụ 2 ta có:
- $ A\cap B=C\cap D=\varnothing .$
- $ A\cap C=\left\{ 4,6 \right\}.$
- $ B\cap D=\left\{ 1,3 \right\}.$
Biến cố sơ cấp là biến cố khác biến cố $ \varnothing $ và không thể phân tích thành tổng của hai biến cố ngẫu nhiên khác.
Ví dụ 9. Trong Ví dụ 2 thì
- Các biến cố $ {{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}},{{A}_{4}},{{A}_{5}},{{A}_{6}}$ là các biến cố sơ cấp.
- Biến cố $ A$ không phải là biến cố sơ cấp vì có sự phân tích $ A={{A}_{2}}\cup {{A}_{4}}\cup {{A}_{6}}$.
- $ F=\varnothing $ nên $ F$ cũng không phải là biến cố sơ cấp.
Mọi biến cố ngẫu nhiên $ A$ bất kỳ đều có thể phân tích thành tổng của các biến cố sơ cấp, và khi đo ta gọi đó là các biến cố sơ cấp thuận lợi cho $ A$. Chẳng hạn, ở Ví dụ 2 vì ta có sự phân tích $ A={{A}_{2}}\cup {{A}_{4}}\cup {{A}_{6}}$ nên sẽ có 3 biến cố sơ cấp thuận lợi cho $ A$ là $ {{A}_{2}},{{A}_{4}},{{A}_{6}}.$
Hai biến cố xung khắc. Hai biến cố $ A$ và $ B$ được gọi là xung khắc nhau nếu chúng không thể đồng thời xảy ra trong cùng một phép thử. Tương đương với $A \cap B = \emptyset .$
Ví dụ 10. Trong Ví dụ 2 ta có các cặp biến cố sau đây là xung khắc nhau: $ A$ và $ B$, $ C$ và $ D$.
Ví dụ 11. Vì $A \cap \emptyset = \emptyset $ với mọi biến cố $ A$ nên biến cố $ \varnothing $ xung khắc với mọi biến cố.
Biến cố đối của biến cố $ A$, ký hiệu $ \overline{A}$, là biến cố được xác định như sau
$ \overline{A}$ xảy ra $ \Leftrightarrow $ $ A$ không xảy ra.
Ví dụ 12. Trong Ví dụ 2 ta có $ \overline{A}=B,\overline{C}=D,\overline{E}=F.$
Bài tập
(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)