Phương pháp quy nạp toán học
- Thứ bảy - 12/03/2016 16:57
- In ra
- Đóng cửa sổ này
Phương pháp quy nạp toán học
Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi $n \in \mathbb{N}$ bằng phương pháp quy nạp toán học ta tiến hành như sau
|
Ví dụ 1. Chứng minh ${n^3} - n$ chia hết cho $3$ với mọi $n \in \mathbb{N}.$
Giải. Bước 1. Với $n=1$ thì ${n^3} - n = 1 - 1 = 0$ chia hết cho $3$.
Bước 2. Giả sử mệnh đề đúng với $n = k \geqslant 1,$ nghĩa là ${k^3} - k$ chia hết cho $3$.
Khi đó, với $n = k + 1,$ ta có $${n^3} - n = {\left( {k + 1} \right)^3} - \left( {k + 1} \right) = \underbrace {{k^3} - k}_{ \vdots 3} + \underbrace {3\left( {{k^2} - k} \right)}_{ \vdots 3}.$$ Vậy ${n^3} - n$ chia hết cho $3$ với mọi $n \in \mathbb{N}.$
Bước 2. Giả sử mệnh đề đúng với $n = k \geqslant 1,$ nghĩa là ${k^3} - k$ chia hết cho $3$.
Khi đó, với $n = k + 1,$ ta có $${n^3} - n = {\left( {k + 1} \right)^3} - \left( {k + 1} \right) = \underbrace {{k^3} - k}_{ \vdots 3} + \underbrace {3\left( {{k^2} - k} \right)}_{ \vdots 3}.$$ Vậy ${n^3} - n$ chia hết cho $3$ với mọi $n \in \mathbb{N}.$
Ví dụ 2. Chứng minh đẳng thức $1 + 2 + ... + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2},n \in \mathbb{N}.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( * \right)$
Giaỉ. Bước 1. Với $n = 1$ thì $ VT = 1 = VP$.
Bước 2. Giả sử đẳng thức $\left( * \right)$ đúng với $n = k \geqslant 1,$ nghĩa là đẳng sức sau là đúng $$1 + 2 + ... + k = \frac{{k\left( {k + 1} \right)}}{2}.$$ Bây giờ với $n = k + 1,$ ta có $$\underbrace {1 + 2 + ... + k}_{\frac{{k\left( {k + 1} \right)}}{2}} + \left( {k + 1} \right) = \frac{{k\left( {k + 1} \right)}}{2} + \left( {k + 1} \right) = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{2}.$$ Vậy đẳng thức $\left( * \right)$ đúng với mọi $n \in \mathbb{N}.$
Bước 2. Giả sử đẳng thức $\left( * \right)$ đúng với $n = k \geqslant 1,$ nghĩa là đẳng sức sau là đúng $$1 + 2 + ... + k = \frac{{k\left( {k + 1} \right)}}{2}.$$ Bây giờ với $n = k + 1,$ ta có $$\underbrace {1 + 2 + ... + k}_{\frac{{k\left( {k + 1} \right)}}{2}} + \left( {k + 1} \right) = \frac{{k\left( {k + 1} \right)}}{2} + \left( {k + 1} \right) = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{2}.$$ Vậy đẳng thức $\left( * \right)$ đúng với mọi $n \in \mathbb{N}.$
Ví dụ 3. Chứng minh bất đẳng thức ${n^2} > 2n + 1\;\;\;\left( * \right),$ với mọi số tự nhiên $n \geqslant 3.$
Giải. Bước 1. Với $ n=3 $ thì $ VT = 9 > 7 = VP $.
Bước 2. Giả sử bất đẳng thức $\left( * \right)$ đúng với $n = k \geqslant 3,$ nghĩa là ta có $${k^2} > 2k + 1.$$ Với $n = k + 1,$ ta có $${\left( {k + 1} \right)^2} = {k^2} + 2k + 1 > 2k + 1 + 2k + 1 = 2\left( {k + 1} \right) + 1.$$ Vậy bất đẳng thức $\left( * \right)$ đúng với mọi số tự nhiên $n \geqslant 3.$
Bước 2. Giả sử bất đẳng thức $\left( * \right)$ đúng với $n = k \geqslant 3,$ nghĩa là ta có $${k^2} > 2k + 1.$$ Với $n = k + 1,$ ta có $${\left( {k + 1} \right)^2} = {k^2} + 2k + 1 > 2k + 1 + 2k + 1 = 2\left( {k + 1} \right) + 1.$$ Vậy bất đẳng thức $\left( * \right)$ đúng với mọi số tự nhiên $n \geqslant 3.$
Bình luận. Ở hai ví dụ đầu ta khởi đầu bằng việc kiểm tra mệnh đề cần chứng minh với $ n =1 $, và đây là phần tử đầu tiên trong tập số tự nhiên $\mathbb{N}$. Tuy nhiên ở ví dụ 3, vì yêu cầu của đề bài là chứng minh bất đẳng thức đúng với $n \geqslant 3$ nên giá trị khởi đầu là $ n =3$ học sinh nên lưu ý điều này.
Bài tập
(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
Bài tập
(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)