Phương trình logarit - Đặt ẩn phụ
- Thứ năm - 11/02/2016 23:37
- In ra
- Đóng cửa sổ này
Phương trình logarit. Các phương pháp giải phương trình logarit. Giải phương trình logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
| Ta tìm cách đặt ẩn phụ để đưa phương trình logarit về dạng phương trình đại số quen thuộc |
Ví dụ 1. Giải phương trình ${\rm{log}}_2^2{\left( {x - 1} \right)^2} + {\log _2}{\left( {x - 1} \right)^3} = 7{\rm{ }}\left( * \right)$
Giải. Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}
x - 1 > 0\\
x + 2 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1.$
Ta có $\left( * \right) \Leftrightarrow {\left[ {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}{{\left( {x - 1} \right)}^2}} \right]^2} + {\log _2}{\left( {x - 1} \right)^3} = 7 \Leftrightarrow 4{\left[ {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x - 1} \right)} \right]^2} + 3{\log _2}\left( {x - 1} \right) = 7$.
Đặt $t = {\log _2}\left( {x - 1} \right),{\rm{ }}PT \Leftrightarrow 4{t^2} + 3t - 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = - 1\\
t = \frac{7}{4}
\end{array} \right.$
Với $t = - 1 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x - 1} \right) = - 1 \Leftrightarrow x - 1 = {2^{ - 1}} \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}.$
Với $t = \frac{7}{4} \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x - 1} \right) = \frac{7}{4} \Leftrightarrow x - 1 = {2^{\frac{7}{4}}} \Leftrightarrow x = 2\sqrt[4]{{{2^3}}} + 1.$
x - 1 > 0\\
x + 2 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1.$
Ta có $\left( * \right) \Leftrightarrow {\left[ {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}{{\left( {x - 1} \right)}^2}} \right]^2} + {\log _2}{\left( {x - 1} \right)^3} = 7 \Leftrightarrow 4{\left[ {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x - 1} \right)} \right]^2} + 3{\log _2}\left( {x - 1} \right) = 7$.
Đặt $t = {\log _2}\left( {x - 1} \right),{\rm{ }}PT \Leftrightarrow 4{t^2} + 3t - 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = - 1\\
t = \frac{7}{4}
\end{array} \right.$
Với $t = - 1 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x - 1} \right) = - 1 \Leftrightarrow x - 1 = {2^{ - 1}} \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}.$
Với $t = \frac{7}{4} \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x - 1} \right) = \frac{7}{4} \Leftrightarrow x - 1 = {2^{\frac{7}{4}}} \Leftrightarrow x = 2\sqrt[4]{{{2^3}}} + 1.$
Ví dụ 2. Giải phương trình $4{\log _9}x + {\log _x}3 = 3$
Giải. Điều kiện $0 < x \ne 1.$ $$PT \Leftrightarrow 4{\log _9}x + \frac{1}{{{{\log }_3}x}} = 3 \Leftrightarrow 2{\log _3}x + \frac{1}{{{{\log }_3}x}} = 3\;\;\;\;\left( { * * } \right)$$ Đặt $t = {\log _3}x.$ Ta có $$\left( { * * } \right) \Leftrightarrow 2t + \frac{1}{t} = 3 \Leftrightarrow 2{t^2} - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\\
t = \frac{1}{2}
\end{array} \right..$$
Với $t = 1 \Leftrightarrow {\log _3}x = 1 \Leftrightarrow x = 3.$
Với $t = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {\log _3}x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \sqrt 3 .$
t = 1\\
t = \frac{1}{2}
\end{array} \right..$$
Với $t = 1 \Leftrightarrow {\log _3}x = 1 \Leftrightarrow x = 3.$
Với $t = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {\log _3}x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \sqrt 3 .$
Ví dụ 3. Giải phương trình $ - \frac{4}{3}{\log _{{x^2}}}4 + 2{\log _{4x}}4 + {\log _{16x}}4 = 0\;\;\;\;\;\;\;\left( { * * * } \right)$
Giải. Điều kiện $0 < x \ne 1.$ Đặt $$t = {\log _x}4 \Rightarrow x = {4^t} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\log _{4x}}4 = {\log _{{4^{t + 1}}}}4 = \frac{1}{{t + 1}}\\
{\log _{16x}}4 = {\log _{{4^{t + 2}}}}4 = \frac{1}{{t + 2}}
\end{array} \right.$$ Suy ra $$ - \frac{4}{3}t + \frac{2}{{t + 1}} + \frac{1}{{t + 2}} = 0 \Leftrightarrow - 4t\left( {t + 1} \right)\left( {t + 2} \right) + 6\left( {t + 2} \right) + 3\left( {t + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = - \frac{5}{2}\\
t = - \frac{3}{2}\\
t = 1
\end{array} \right.$$
Với $t = - \frac{5}{2} \Leftrightarrow {\log _x}4 = - \frac{5}{2} \Leftrightarrow {\log _4}x = - \frac{2}{5} \Leftrightarrow x = {4^{ - \frac{2}{5}}}.$
Với $t = - \frac{3}{2} \Leftrightarrow {\log _x}4 = - \frac{3}{2} \Leftrightarrow {\log _4}x = - \frac{2}{3} \Leftrightarrow x = {4^{ - \frac{2}{3}}}.$
Với $t = 1 \Leftrightarrow {\log _x}4 = 1 \Leftrightarrow {\log _4}x = 1 \Leftrightarrow x = 4.$
{\log _{4x}}4 = {\log _{{4^{t + 1}}}}4 = \frac{1}{{t + 1}}\\
{\log _{16x}}4 = {\log _{{4^{t + 2}}}}4 = \frac{1}{{t + 2}}
\end{array} \right.$$ Suy ra $$ - \frac{4}{3}t + \frac{2}{{t + 1}} + \frac{1}{{t + 2}} = 0 \Leftrightarrow - 4t\left( {t + 1} \right)\left( {t + 2} \right) + 6\left( {t + 2} \right) + 3\left( {t + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = - \frac{5}{2}\\
t = - \frac{3}{2}\\
t = 1
\end{array} \right.$$
Với $t = - \frac{5}{2} \Leftrightarrow {\log _x}4 = - \frac{5}{2} \Leftrightarrow {\log _4}x = - \frac{2}{5} \Leftrightarrow x = {4^{ - \frac{2}{5}}}.$
Với $t = - \frac{3}{2} \Leftrightarrow {\log _x}4 = - \frac{3}{2} \Leftrightarrow {\log _4}x = - \frac{2}{3} \Leftrightarrow x = {4^{ - \frac{2}{3}}}.$
Với $t = 1 \Leftrightarrow {\log _x}4 = 1 \Leftrightarrow {\log _4}x = 1 \Leftrightarrow x = 4.$
Ví dụ 4. Giải phương trình ${x^{2\log x}} = 10{x^2}$.
Điều kiện $x>0$. Lấy logarit cơ số $10$ hai vế ta được $$PT \Leftrightarrow 2{\log ^2}x = 1 + 3\log x \Leftrightarrow 2{\log ^2}x - \log x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\log x = 1\\
\log x = \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 10\\
x = \sqrt {10}
\end{array} \right..$$
\log x = 1\\
\log x = \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 10\\
x = \sqrt {10}
\end{array} \right..$$