Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.

http://cunghoctoan.com


Phương trình tham số của đường thẳng

Công thức chuyển đổi vector pháp tuyến và vector chỉ phương. Phương trình tham số của đường thẳng.
Phương trình tham số của đường thẳng. Trong mặt phẳng $Oxy$, đường thẳng $d$ đi qua điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ và có vector chỉ phương $\vec u = \left( {a;b} \right)$ sẽ có phương trình tham số là $$\left\{ \begin{gathered}   x = {x_0} + at \hfill \\   y = {y_0} + bt, \hfill \\ \end{gathered}  \right.\;\;\;\;\;\;t \in \mathbb{R}.$$

Ví dụ 1. Xác định vector chỉ phương và $2$ điểm phân biệt thuộc đường thẳng $\left( {{d}} \right):\left\{ \begin{gathered}   x = 2 + 3t \hfill \\   y =  - 1 - t. \hfill \\ \end{gathered}  \right.$

 
Giải. Vector chỉ phương của đường thẳng là ${\vec u} = \left( {3; - 1} \right).$
Cho ${t} = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}   {x} = 2 \hfill \\   {y} =  - 1 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Rightarrow {M_1}\left( {2; - 1} \right) \in d.$
Cho ${t} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}   {x} = 5 \hfill \\   {y} =  - 2 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Rightarrow {M_2}\left( {5; - 2} \right) \in d.$

Ví dụ 2. Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $M\left( {2;3} \right)$ và có vector chỉ phương là $\vec u = \left( {1;4} \right).$
Giải. Phương trình tham số của đường thẳng $d$ là $$\left\{ \begin{gathered}   x = 2 + t \hfill \\   y = 3 + 4t \hfill \\ \end{gathered}  \right.,t \in \mathbb{R}.$$
Ví dụ 3. Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $A\left( {2; - 3} \right)$ và $B\left( {3;2} \right)$.
Giải. Đường thẳng $d$ có vector chỉ phương là $\vec u = \overrightarrow {AB}  = \left( {1;5} \right)$ và đi qua $A\left( {2; - 3} \right)$ nên có phương trình là $$\left\{ \begin{gathered}   x = 2 + t \hfill \\   y =  - 3 + 5t \hfill \\ \end{gathered}  \right.,\;\;\;t \in \mathbb{R}.$$
Chuyển đổi giữa vector pháp tuyến và vector chỉ phương. Giả sử đường thẳng $d$ có vector pháp tuyến là $\vec n = \left( {A;B} \right)$. Khi đó vector $\vec u = \left( { - B;A} \right)$ vuông góc với $ \vec n$ vì $\vec n \cdot \vec u = A \cdot \left( { - B} \right) + B \cdot A = 0.$ Như vậy $\vec u = \left( { - B;A} \right)$ là một vector chỉ phương của $d$. Từ đây ta có công thức chuyển đổi giữa hai vector này như sau $$\vec n = \left( {A;B} \right) \Leftrightarrow \vec u = \left( { - B;A} \right).\;\;\;\;\;\;\; (*)$$ 

Ví dụ 4. Cho biết hai vector chỉ phương của đường thẳng $\left( {{d}} \right): 2x + 3y - 1 = 0.$
Giải. Từ phương trình của $d$ ta được vector pháp tuyến $\vec n = \left( {2;3} \right)$. Theo công thức chuyển đổi trên ta có một vector chỉ phương của $d$ là $\vec u = \left( { - 3;2} \right)$. Từ đây ta dễ dàng chọn được thêm một vector chỉ phương khác là $\vec u_1 =  - \vec u = \left( {3; - 2} \right).$

Ví dụ 5. Viết phương trình đường thẳng  $\left( {{d_1}} \right):\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 3t\\ y =  - 1 - t \end{array} \right.$ về dạng tổng quát. 
Giải. Vector chỉ phương của đường thẳng là ${\vec u} = \left( {3; - 1} \right)$. Từ công thức $(*)$ ta suy ra một vector pháp tuyến của $d$ là $\vec n = \left( {1;3} \right).$

Thay  ${t} = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}   {x} = 2 \hfill \\   {y} =  - 1 \hfill \\ \end{gathered}  \right. \Rightarrow {M}\left( {2; - 1} \right) \in d.$

Từ đây ta được phương trình tổng quát của $d$ là $1 \cdot \left( {x - 2} \right) + 3 \cdot \left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y + 1 = 0.$
 

Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
 

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán