Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
- Thứ hai - 07/03/2016 00:32
- In ra
- Đóng cửa sổ này
Cách xác định và tính khoảng cách từ điểm đểm mặt phẳng.
Định nghĩa. Khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là khoảng cách giữa $M$ và hình chiếu vuông góc của nó lên $\left( \alpha \right)$, ký hiệu là $d\left( {M,\left( \alpha \right)} \right).$
$$d\left( {M,\left( \alpha \right)} \right) = MH.$$
Ví dụ. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, tất cả các mặt bên là tam giác đều cạnh bằng $a$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Tính khoảng cách từ $S$ đến $\left( {ABCD} \right).$
Giải. Vì $\Delta SAC$ cân nên trung tuyến $SO \bot AC.$
Tương tự ta có $SO \bot BD.$
$ \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)$ $ \Rightarrow SO = d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right).$
Áp dụng công thức tính trung tuyến trong $\Delta SAC.$
$$\begin{gathered}
S{O^2} = \frac{{S{A^2} + S{C^2}}}{2} - \frac{{A{C^2}}}{4} = \frac{{{a^2} + {a^2}}}{2} - \frac{{{{\left( {\sqrt 2 a} \right)}^2}}}{4} = \frac{{{a^2}}}{2}. \hfill \\
\Rightarrow SO = \frac{a}{{\sqrt 2 }}. \hfill \\
\end{gathered} $$
Tương tự ta có $SO \bot BD.$
$ \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)$ $ \Rightarrow SO = d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right).$
Áp dụng công thức tính trung tuyến trong $\Delta SAC.$
$$\begin{gathered}
S{O^2} = \frac{{S{A^2} + S{C^2}}}{2} - \frac{{A{C^2}}}{4} = \frac{{{a^2} + {a^2}}}{2} - \frac{{{{\left( {\sqrt 2 a} \right)}^2}}}{4} = \frac{{{a^2}}}{2}. \hfill \\
\Rightarrow SO = \frac{a}{{\sqrt 2 }}. \hfill \\
\end{gathered} $$