Đồ thị hàm số chứa trị tuyệt đối. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số chứa chị tuyệt đối. Công thức phát trị tuyệt đối.
Hàm chứa trị tuyệt đối. Xét hàm số dạng $y = \left| {f\left( x \right)} \right|$. Giả sử hàm số có đồ thị là $\left( C \right)$. Ta có $$\left| {f\left( x \right)} \right| = \left\{ \begin{gathered}
f\left( x \right)\,\,\,\,\,\,\hbox{nếu} \,\,f\left( x \right) \geqslant 0; \hfill \\
- f\left( x \right)\,\,\,\hbox{nếu}\,\,f\left( x \right) < 0. \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ Từ đây suy ra $\left( C \right)$ là hợp của hai đồ thị $\left( {{C_1}} \right):y = f\left( x \right)$ với $f\left( x \right) \geqslant 0$ và $\left( {{C_2}} \right):y = - f\left( x \right)$ với $f\left( x \right) < 0$.
Ví dụ 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $\left( C \right):y = \left| {x - 1} \right|.$
Tập xác định $D = \mathbb{R}$. Ta có $$y = \left| {x - 1} \right| = \left\{ \begin{gathered}
x - 1\,\,\hbox{nếu}x - 1 \geqslant 0; \hfill \\
- \left( {x - 1} \right)\,\,\,\,\,\,\hbox{nếu} \,\,x - 1 < 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow y = \left\{ \begin{gathered}
x - 1\,\,\,\,\,\,\hbox{nếu} \,\,x \geqslant 1; \hfill \\
1 - x\,\,\,\,\,\,\hbox{nếu} \,\,x < 1. \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ Suy ra $$y' = \left\{ \begin{gathered}
1\,\;\;\;\;\;\;\;\hbox{nếu}\;\;\;x > 1; \hfill \\
- 1\,\;\;\;\;\;\hbox{nếu}\;\;\;x < 1. \hfill \\
\end{gathered} \right.$$ Hàm số không có đạo hàm tại $x=1$.
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$.
Bảng biến thiên và đồ thị. Các bước vẽ đồ thị:
Bước 1. Vẽ đồ thị $\left( {{C_1}} \right):y = x - 1$ với $x \geqslant 1.$ Bước 2. Vẽ đồ thị $\left( {{C_2}} \right):y = 1 - x$ với $x \leqslant 1.$ Bước 3. Đồ thị $\left( C \right) = \left( {{C_1}} \right) \cup \left( {{C_2}} \right).$
Bảng biến thiên
Đồ thị
Ví dụ 2. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $\left( C \right):y = \left| {{x^2} - 3x + 2} \right|.$
