Phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc
- Thứ bảy - 13/02/2016 01:17
- In ra
- Đóng cửa sổ này
Viết phương trình tiếp tuyến khi biết trước hệ số góc. Viết phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng cho trước. Viết phương trình tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Viết phương trình tiếp tuyến khi biết trước hệ số góc.
Ví dụ 1. Viết phương trình tiếp của đồ thị hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - 3x^2 + 2$ biết hệ số góc của tiếp tuyến là $k = - 3$.
| Để viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của đồ thị $\left( C \right):y = f\left( x \right)$ khi biết hệ số góc của tiếp tuyến là $k$ ta tiến hành các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm $f' ( x )$; Bước 2: Giải phương trình $f' ( x ) = k$ để tìm hoành độ $x_0$ của tiếp điểm. Từ đây suy ra toạ độ điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)$, với ${y_0} = f \left( {{x_0}} \right)$; Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ tại tiếp điểm $M_0 ( x_0;y_0 )$: $$y = f' \left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}.\;\;$$ |
Ví dụ 1. Viết phương trình tiếp của đồ thị hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - 3x^2 + 2$ biết hệ số góc của tiếp tuyến là $k = - 3$.
Giải. Ta có $f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x$
Toạ độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình $$f'\left( x \right) = -3 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = - 3 \Leftrightarrow x = 1.$$
Với ${x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} = f\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow $ toạ độ tiếp điểm ${M_0}\left( {1;0} \right)$.
Phương trình tiếp tuyến tại ${M_0}\left( {1;0} \right)$ là $$y = - 3\left( {x - 1} \right) + 0 \Leftrightarrow y = - 3x + 3.$$
Toạ độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình $$f'\left( x \right) = -3 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = - 3 \Leftrightarrow x = 1.$$
Với ${x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} = f\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow $ toạ độ tiếp điểm ${M_0}\left( {1;0} \right)$.
Phương trình tiếp tuyến tại ${M_0}\left( {1;0} \right)$ là $$y = - 3\left( {x - 1} \right) + 0 \Leftrightarrow y = - 3x + 3.$$
Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của đồ thị hàm số $f\left( x \right) = {x^3} + 3x - 1$ biết tiếp tuyến có hệ số góc là $k=6$.
Giải. Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình $$f'\left( x \right) = 6 \Leftrightarrow 3{x^2} + 3 = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_1} = 1 \Rightarrow {y_1} = f\left( 1 \right) = 3\\
{x_2} = - 1 \Rightarrow {y_2} = f\left( 1 \right) = - 5
\end{array} \right..$$
Vậy có hai tiếp điểm là ${M_1}\left( {1;3} \right),{M_2}\left( { - 1; - 5} \right)$.
Phương trình tiếp tuyến tại ${M_1}\left( {1;3} \right)$ là $$\left( {{\Delta_1}} \right):\;\;\;\;y = 6\left( {x - {x_1}} \right) + {y_1} \Leftrightarrow y = 6\left( {x - 1} \right) + 3 \Leftrightarrow y = 6x - 3.$$
Phương trình tiếp tuyến tại ${M_2}\left( { - 1; - 5} \right)$ là $$\left( {{\Delta_2}} \right):\;\;\;\;y = 6\left( {x - {x_2}} \right) + {y_2} \Leftrightarrow y = 6\left( {x + 1} \right) - 5 \Leftrightarrow y = 6x + 1.$$
{x_1} = 1 \Rightarrow {y_1} = f\left( 1 \right) = 3\\
{x_2} = - 1 \Rightarrow {y_2} = f\left( 1 \right) = - 5
\end{array} \right..$$
Vậy có hai tiếp điểm là ${M_1}\left( {1;3} \right),{M_2}\left( { - 1; - 5} \right)$.
Phương trình tiếp tuyến tại ${M_1}\left( {1;3} \right)$ là $$\left( {{\Delta_1}} \right):\;\;\;\;y = 6\left( {x - {x_1}} \right) + {y_1} \Leftrightarrow y = 6\left( {x - 1} \right) + 3 \Leftrightarrow y = 6x - 3.$$
Phương trình tiếp tuyến tại ${M_2}\left( { - 1; - 5} \right)$ là $$\left( {{\Delta_2}} \right):\;\;\;\;y = 6\left( {x - {x_2}} \right) + {y_2} \Leftrightarrow y = 6\left( {x + 1} \right) - 5 \Leftrightarrow y = 6x + 1.$$