Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.

http://cunghoctoan.com


Nghiệm của phương trình bậc hai

Nghiệm của phương trình bậc hai có hệ số thực. Nghiệm của phương trình bậc hai có hệ số phức.
Phương trình bậc hai hệ số thực. Có dạng $a{x^2} + bx + c = 0$, với $a,b,c \in \mathbb{R}.$ Công thức nghiệm $${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt \Delta  }}{{2a}}, \hbox{ với } \Delta  = {b^2} - 4ac.$$

Ví dụ 1. Giải phương trình ${x^2} + 2x + 5 = 0\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)$.
Giải. Ta có $\Delta  = {b^2} - 4ac = {2^2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 =  - 16 = {\left( {4i} \right)^2}.$ Suy ra $\Delta$ có một căn bậc hai là $\sqrt \Delta   = 4i.$ Hai nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$ là $$\begin{gathered}
  {x_1} = \frac{{ - 2 + 4i}}{2} =  - 1 + 2i; \hfill \\
  {x_2} = \frac{{ - 2 - 4i}}{2} =  - 1 - 2i. \hfill \\
\end{gathered} $$
Bình luận 1. Ở Ví dụ 1, $\Delta$ có hai căn bậc hai là $4i$ và $-4i$. Một trong hai căn bậc hai này, ta dùng đại lượng nào cũng được. Ở đây ta đã dùng $4i$ để thao tác tính dễ dàng hơn. 

Phương trình bậc hai hệ số phức. Có dạng $a{x^2} + bx + c = 0$, với $a,b,c \in \mathbb{C}.$ Công thức tính nghiệm cũng giống như trường hợp có hệ số thực. 

Ví dụ 2. Giải phương trình ${x^2} + \left( {1 - \sqrt 3 } \right)ix + \sqrt 3  = 0\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)$.
Giải. Ta có $$\Delta  = {\left[ {\left( {1 - \sqrt 3 } \right)i} \right]^2} - 4\sqrt 3  =  - {\left( {1 - \sqrt 3 } \right)^2} - 4\sqrt 3  =  - {\left( {1 + \sqrt 3 } \right)^2} = {\left[ {\left( {1 + \sqrt 3 } \right)i} \right]^2}.$$ Suy ra một căn bậc hai của $\Delta$ là $\sqrt \Delta   = \left( {1 + \sqrt 3 } \right)i$. Từ đây ta được nghiệm của $\left( 2 \right)$ là $$\begin{gathered}   {x_1} = \frac{{ - \left( {1 - \sqrt 3 } \right)i + \left( {1 + \sqrt 3 } \right)i}}{2} = \sqrt 3 i, \hfill \\   {x_2} = \frac{{ - \left( {1 - \sqrt 3 } \right)i - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)i}}{2} =  - i. \hfill \\ \end{gathered} $$
 
Bình luận 2. Ở Khi giải phương trình bậc hai hệ số phức, thường thì $\Delta$ sẽ là một số phức. Do đó ta nên xem lại cách lấy căn bậc hai của số phức ở bài trước. Như ví dụ sau đây

Ví dụ 3. Giải phương trình ${x^2} + \left( {1 + 5i} \right)x + 5i - 12 = 0.$
Giải. Ta có $$\Delta  = {\left( {1 + 5i} \right)^2} - 4\left( {5i - 12} \right) = 24 - 10i = {\left( {5 - i} \right)^2}.$$ Suy ra một căn bậc hai của $\Delta$ là $\sqrt \Delta   = 5 - i$. Từ đây ta có nghiệm của phương trình là $$\eqalign{
  & {x_1} = \frac{{ - \left( {1 + 5i} \right) + \left( {5 - i} \right)}}{2} = 2 - 3i,  \cr
  & {x_2} = \frac{{ - \left( {1 + 5i} \right) - \left( {5 - i} \right)}}{2} =  - 3 - 2i. \cr} $$

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán