Tích phân hàm lượng giác
- Thứ ba - 09/02/2016 00:21
- In ra
- Đóng cửa sổ này
Tích phân hàm lượng giác. Tích phân truy hồi. Tích phân theo phương pháp truy hồi.
Công thức hay dùng. $$\begin{array}{l}
\left( 1 \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\int {\cos xdx} = \sin x + C;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {1'} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\int {\cos \left( {ax + b} \right)dx} = \frac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right) + C;\,\,\\
\left( 2 \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\int {\sin xdx} = - \cos x + C;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {2'} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\int {\sin \left( {ax + b} \right)dx} = - \frac{1}{a}\cos \left( {ax + b} \right) + C;\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}} = \int {\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)dx} = \tan x + C;\,\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}} = \int {\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right)dx} = - \cot x + C.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\end{array}$$
Học sinh có thể xem lại các công thức lượng giác ở đây.
Ví dụ 1. $$I\,\,\, = \,\,\,\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos 2xdx} \,\,\,\, = \,\,\,\,\frac{1}{2}\left. {\left( {\sin 2x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}\,\,\,\, = \,\,\,\,\frac{1}{2}.$$
Ví dụ 2. $$I\,\,\, = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{dx}}{{\sin x + \cos x}}} = \,\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{dx}}{{\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}} \,\,\, = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{dx}}{{\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}} .$$
Ví dụ 4. Tính tích phân $I\,\,\, = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2x{{\left( {1 + {{\sin }^2}x} \right)}^3}dx} .$
(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
\left( 1 \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\int {\cos xdx} = \sin x + C;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {1'} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\int {\cos \left( {ax + b} \right)dx} = \frac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right) + C;\,\,\\
\left( 2 \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\int {\sin xdx} = - \cos x + C;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {2'} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\int {\sin \left( {ax + b} \right)dx} = - \frac{1}{a}\cos \left( {ax + b} \right) + C;\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}} = \int {\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)dx} = \tan x + C;\,\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}} = \int {\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right)dx} = - \cot x + C.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
\end{array}$$
Học sinh có thể xem lại các công thức lượng giác ở đây.
Ví dụ 1. $$I\,\,\, = \,\,\,\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos 2xdx} \,\,\,\, = \,\,\,\,\frac{1}{2}\left. {\left( {\sin 2x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}\,\,\,\, = \,\,\,\,\frac{1}{2}.$$
Ví dụ 2. $$I\,\,\, = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{dx}}{{\sin x + \cos x}}} = \,\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{dx}}{{\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}} \,\,\, = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{dx}}{{\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}} .$$
Đặt $t = x + \frac{\pi }{4} \Rightarrow dt = dx.$ Đổi cận
Suy ra $$I\,\,\, = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{dt}}{{{\mathop{\rm sint}\nolimits} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin tdt}}{{{{\sin }^2}t}} = } } \frac{1}{{\sqrt 2 }}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin tdt}}{{1 - {{\cos }^2}t}}} .$$ Đổi cận
Suy ra $$I\,\,\, = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\int\limits_{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}^0 {\frac{{ - du}}{{1 - {u^2}}}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\int\limits_{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}^0 {\frac{{du}}{{{u^2} - 1}}} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\left. {\left( {\ln \left| {\frac{{u - 1}}{{u + 1}}} \right|} \right)} \right|_{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}^0 = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{1 + \sqrt 2 }}{{1 - \sqrt 2 }}} \right|.$$
Ví dụ 3. $$I\,\,\, = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\sin 2x\cos xdx} = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\sin 3x + \sin x} \right)dx} = \frac{1}{2}\left. {\left( { - \frac{{\cos 3x}}{3} - \cos x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{3}} = \frac{7}{{12}}.$$Suy ra $$I\,\,\, = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{dt}}{{{\mathop{\rm sint}\nolimits} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin tdt}}{{{{\sin }^2}t}} = } } \frac{1}{{\sqrt 2 }}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin tdt}}{{1 - {{\cos }^2}t}}} .$$ Đổi cận
Suy ra $$I\,\,\, = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\int\limits_{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}^0 {\frac{{ - du}}{{1 - {u^2}}}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\int\limits_{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}^0 {\frac{{du}}{{{u^2} - 1}}} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\left. {\left( {\ln \left| {\frac{{u - 1}}{{u + 1}}} \right|} \right)} \right|_{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}^0 = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{1 + \sqrt 2 }}{{1 - \sqrt 2 }}} \right|.$$
Ví dụ 4. Tính tích phân $I\,\,\, = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2x{{\left( {1 + {{\sin }^2}x} \right)}^3}dx} .$
Giải. Đặt $t = 1 + {\sin ^2}x \Rightarrow dt = 2\sin x\cos xdx \Rightarrow dt = \sin 2xdx.$
Đổi cận
Suy ra $$I\,\,\, = \int\limits_1^2 {{t^3}dt} = \left. {\left( {\frac{{{t^4}}}{4}} \right)} \right|_1^2 = \frac{{15}}{4}.$$
Ví dụ 5. Tính tích phân $I\,\,\, = \,\,\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^3}x}}{{1 + \cos x}}dx} .$
Đổi cận
Suy ra $$I\,\,\, = \int\limits_1^2 {{t^3}dt} = \left. {\left( {\frac{{{t^4}}}{4}} \right)} \right|_1^2 = \frac{{15}}{4}.$$
Giải. Đặt $t = 1 + \cos x \Rightarrow dt = - \sin xdx.$ Đổi cận
Suy ra $$\begin{array}{l}
I\,\,\, = \,\,\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^3}x}}{{1 + \cos x}}dx = } \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 - {{\cos }^2}x}}{{1 + \cos x}}\sin xdx} \,\, = \int\limits_2^1 {\frac{{1 - {{\left( {t - 1} \right)}^2}}}{t}\left( { - tdt} \right)} \\
\,\,\,\,\, = \int\limits_2^1 {\frac{{1 - {{\left( {t - 1} \right)}^2}}}{t}\left( { - tdt} \right)} \,\, = \int\limits_1^2 {\left( {2t - {t^2}} \right)dt} = \left. {\left( {{t^2} - \frac{{{t^3}}}{3}} \right)} \right|_1^2 = \frac{2}{3}.
\end{array}$$
Suy ra $$\begin{array}{l}
I\,\,\, = \,\,\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\sin }^3}x}}{{1 + \cos x}}dx = } \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 - {{\cos }^2}x}}{{1 + \cos x}}\sin xdx} \,\, = \int\limits_2^1 {\frac{{1 - {{\left( {t - 1} \right)}^2}}}{t}\left( { - tdt} \right)} \\
\,\,\,\,\, = \int\limits_2^1 {\frac{{1 - {{\left( {t - 1} \right)}^2}}}{t}\left( { - tdt} \right)} \,\, = \int\limits_1^2 {\left( {2t - {t^2}} \right)dt} = \left. {\left( {{t^2} - \frac{{{t^3}}}{3}} \right)} \right|_1^2 = \frac{2}{3}.
\end{array}$$
Bài tập
(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)